[论文解读] Phase Recovery, MaxCut and Complex Semidefinite Programming

Irène Waldspurger, Alexandre d’Aspremont+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 35被引用 54

一句话总结

本文提出 PhaseCut，一种用于复数相位恢复的凸半定规划松弛方法，其结构与 MaxCut SDP 相似，支持通过矩阵-向量迭代实现高效的块坐标下降。在无噪声条件下，建立了 PhaseLift 与改进版 PhaseCut 的等价性，并在噪声和稀疏场景下展示了相较于现有方法更高的稳定性。

ABSTRACT

Phase retrieval seeks to recover a signal x from the amplitude |Ax| of linear measurements. We cast the phase retrieval problem as a non-convex quadratic program over a complex phase vector and formulate a tractable relaxation (called PhaseCut) similar to the classical MaxCut semidefinite program. We solve this problem using a provably convergent block coordinate descent algorithm whose structure is similar to that of the original greedy algorithm in Gerchberg-Saxton, where each iteration is a matrix vector product. Numerical results show the performance of this approach over three different phase retrieval problems, in comparison with greedy phase retrieval algorithms and matrix completion formulations.

研究动机与目标

• 通过在单位复数环面上重新表述为二次规划问题，解决复向量空间中的非凸相位恢复问题。
• 开发一种可计算的凸松弛方法——PhaseCut，其灵感来源于 MaxCut 半定规划，专用于复值测量。
• 设计一种可证明收敛的块坐标下降算法，其迭代复杂度与经典的 Gerchberg-Saxton 方法相当。
• 在无噪声情况下，建立 PhaseCut 与 PhaseLift 之间的理论等价性与紧致性条件，并在噪声环境下比较其稳定性。
• 通过实证结果表明，PhaseCut 在鲁棒性方面优于贪婪算法和矩阵补全公式，尤其在噪声和稀疏条件下表现更优。

提出的方法

• 将相位恢复问题重新表述为复数相位向量 $ u \triangleq \frac{Ax}{|Ax|} $ 上的非凸二次规划问题，其中对所有 $ i $ 满足 $ |u_i| = 1 $。
• 通过将问题提升为类似于 MaxCut SDP 的复数半定规划，推导出一种凸松弛方法——PhaseCut，利用 $ X = xx^* $ 上的秩一约束。
• 采用块坐标下降算法，每次迭代执行矩阵-向量乘积，确保每次迭代成本较低且具备可证明的收敛性。
• 引入一种改进的 PhaseCut 公式，以在无噪声条件下实现与 PhaseLift 的理论等价性，前提是 $ A $ 为单射且 $ b = |Ax| $ 非零。
• 利用约束矩阵（单例）的结构特性，实现高效计算，尽管问题规模大于 PhaseLift。
• 通过基于迹的界分析稳定性，即 $ \text{Tr}(V_{PC}^\bot) \triangleq d_1(V_{PC}, \text{range}(A)) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 相位恢复能否被重新表述为在复单位环面上的非凸二次规划问题，从而支持新型凸松弛方法？
• RQ2 类似于 MaxCut 的半定松弛方法——PhaseCut，在相位恢复中是否能实现与 PhaseLift 相当或更优的性能？
• RQ3 在何种条件下，PhaseCut 松弛是紧致的？这与 PhaseLift 的紧致性有何关联？
• RQ4 在噪声和稀疏条件下，PhaseCut 与 PhaseLift 及贪婪算法相比，其稳定性如何？
• RQ5 能否证明 PhaseCut 的块坐标下降算法收敛，同时保持与 Gerchberg-Saxton 方法相当的计算效率？

主要发现

• PhaseCut 是相位恢复的一种凸松弛方法，其结构与 MaxCut SDP 非常相似，支持通过块坐标下降实现高效求解。
• 本文证明了 PhaseLift 的紧致性意味着改进版 PhaseCut 的紧致性，反之亦然，在较弱假设下成立，从而在无噪声情况下建立了理论等价性。
• 在无噪声设定下，当 $ A $ 为单射且 $ |Ax| $ 无零元素时，PhaseLift 与改进版 PhaseCut 等价。
• 在噪声环境下，PhaseCut 的稳定性优于 PhaseLift，尤其当 $ b = |Ax| $ 稀疏时，数值比较结果已验证此结论。
• PhaseCut 的块坐标下降算法的迭代复杂度与 Gerchberg-Saxton 方法相同（均为矩阵-向量乘积），确保了计算效率。
• 理论界表明 $ \text{Tr}(V_{PC}^\bot) \triangleq d_1(V_{PC}, \text{range}(A)) \triangleq \text{Tr}((I - AA^\top)V_{PC}(I - AA^\top)) \triangleq \text{Tr}(V_{PC}(I - AA^\top)) $，且该量受 $ \norm{b_{\text{n,PC}}}_2^2 $ 有界，从而提供稳定性保证。