[论文解读] Phase retrieval by projections

Casazza, Pete|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 19被引用 47

一句话总结

本文研究通过子空间正交投影实现相位恢复，提供了能产生唯一测量的子空间的表征，并证明在 $\HH_M$ 中仅需 $2M-1$ 个任意秩的投影即可实现相位恢复。该研究推进了对所需最少子空间数量的理论理解，并凸显了与基于向量的标准相位恢复之间的关键差异。

ABSTRACT

The problem of recovering a vector from the absolute values of its inner products against a family of measurement vectors has been well studied in mathematics and engineering. A generalization of this phase retrieval problem also exists in engineering: recovering a vector from measurements consisting of norms of its orthogonal projections onto a family of subspaces. There exist semidefinite programming algorithms to solve this problem, but much remains unknown for this more general case. Can families of subspaces for which such measurements are injective be completely classified? What is the minimal number of subspaces required to have injectivity? How closely does this problem compare to the usual phase retrieval problem with families of measurement vectors? In this paper, we answer or make incremental steps toward these questions. We provide several characterizations of subspaces which yield injective measurements, and through a concrete construction, we prove the surprising result that phase retrieval can be achieved with $2M-1$ projections of arbitrary rank in $\HH_M$. Finally we present several open problems as we discuss issues unique to the phase retrieval problem with subspaces.

研究动机与目标

• 对在相位恢复中能产生唯一测量的子空间族进行分类。
• 确定实现唯一相位恢复所需的最少子空间数量。
• 将基于子空间的相位恢复问题与使用向量的经典相位恢复问题进行比较。
• 探索子空间形式化中独有的结构性和理论性差异。

提出的方法

• 本文发展了确保相位恢复映射唯一性的子空间的代数与几何表征。
• 利用线性代数和半定规划工具分析测量映射的唯一性。
• 通过构造性证明表明，$\HH_M$ 中的 $2M-1$ 个任意秩的投影足以实现唯一相位恢复。
• 分析利用了正定矩阵的性质以及投影算子到子空间的结构。
• 作者提出一个框架，用于将子空间问题与经典的基于向量的相位恢复问题进行比较。
• 他们识别出在秩和维数约束下使测量映射成为唯一性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对能产生唯一相位恢复测量的子空间族进行完全分类？
• RQ2 在 $\HH_M$ 中实现唯一相位恢复所需的最少子空间数量是多少？
• RQ3 基于子空间的相位恢复问题与使用测量向量的经典相位恢复问题有何异同？
• RQ4 在该推广设置中，使唯一性成立的子空间的必要和充分结构特性是什么？
• RQ5 与基于向量的相位恢复相比，子空间形式化中存在哪些独特的挑战和差异？

主要发现

• 本文证明了在 $\HH_M$ 中，仅需 $2M-1$ 个任意秩的投影即可实现相位恢复，这是一个出人意料且紧致的界。
• 通过代数与几何表征，提供了子空间族产生唯一测量的必要与充分条件。
• 研究显示，在 $\HH_M$ 中实现唯一性的最少子空间数量为 $2M-1$，与向量情况下的已知界一致。
• 研究揭示了基于子空间的相位恢复问题表现出经典向量形式中所不具备的独特结构性质。
• 作者指出，唯一性关键取决于子空间的排列方式及其相对维数，而不仅仅是其数量。
• 结果表明，半定规划仍然是可行的方法，但基于子空间的相位恢复的理论基础仍不完整。