[论文解读] Phase Retrieval for Sparse Signals

Yang Wang, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 3

一句话总结

本文建立了从仅幅度测量中恢复稀疏信号的理论基础，证明了对于k-稀疏相位恢复，2k个通用实向量和4k−2个通用复向量已足够。论文提出了一种ℓ₁最小化所需的零空间性质，该性质对于成功恢复而言既是必要条件也是充分条件，这是文献中首次为稀疏相位恢复提出此类条件。

ABSTRACT

The aim of this paper is to build up the theoretical framework for the recovery of sparse signals from the magnitude of the measurement. We first investigate the minimal number of measurements for the success of the recovery of sparse signals without the phase information. We completely settle the minimality question for the real case and give a lower bound for the complex case. We then study the recovery performance of the $\ell_1$ minimization. In particular, we present the null space property which, to our knowledge, is the first sufficient and necessary condition for the success of $\ell_1$ minimization for $k$-sparse phase retrievable.

研究动机与目标

• 确定从仅幅度测量中成功恢复k-稀疏信号所需的最小测量数。
• 为稀疏相位恢复中的ℓ₁最小化建立理论框架，特别是其成功条件。
• 推导出一种零空间性质，该性质对ℓ₁最小化在相位恢复中成功恢复k-稀疏信号而言既是必要条件也是充分条件。
• 解决实数情形下k-稀疏相位恢复的最小性问题，并为复数情形提供紧致的下界。

提出的方法

• 证明对于实值信号，m ≥ 2k个通用测量在k-稀疏相位恢复中既必要又充分。
• 建立在复数情形下，m ≥ 4k−2个通用向量足以实现k-稀疏相位恢复，并推测该界是紧致的。
• 提出相位恢复中ℓ₁最小化的零空间性质，推广了压缩感知中已知的结果。
• 利用框架矩阵分析和等价类结构，通过测量索引的分块条件来表征可相位恢复性。
• 证明相位可恢复性与存在满足特定比例条件的非平凡零空间向量之间的非存在性等价。
• 利用模为1的等价性及复向量空间结构，推导出在稀疏等价类上幅度映射的单射性的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在实数情形下，唯一恢复k-稀疏信号所需的最小测量数是多少（仅基于幅度测量）？
• RQ2 在复数情形下，k-稀疏相位恢复所需的最小测量数是多少，且4k−2是否为最优界？
• RQ3 测量矩阵需满足何种条件，才能确保ℓ₁最小化能从幅度数据中成功恢复k-稀疏信号？
• RQ4 能否提出一种零空间性质，使其对ℓ₁最小化在稀疏相位恢复中成功而言既是必要条件也是充分条件？
• RQ5 对零空间向量的分块条件如何与稀疏等价类上幅度测量映射的单射性相关联？

主要发现

• 对于实值信号，m ≥ 2k个通用测量在k-稀疏相位恢复中既必要又充分，且该界是紧致的。
• 在复数情形下，m ≥ 4k−2个通用向量足以实现k-稀疏相位恢复，作者推测该界是紧致的。
• 本文首次提出一种已知的零空间性质，该性质对ℓ₁最小化在实数域和复数域中成功实现k-稀疏相位恢复而言既是必要条件也是充分条件。
• 该零空间性质通过测量索引分块中不存在满足特定比例条件的非平凡零空间向量来表述。
• 在实数和复数情形下，相位可恢复性与这类结构化零空间向量的不存在性之间的等价性已严格证明。
• 结果表明，k-稀疏信号的相位恢复所需测量数远少于全维相位恢复，复数情形下要求从4d−4减少到4k−2（当k ≪ d时）。