[论文解读] Phase Retrieval from Local Measurements: Improved Robustness via Eigenvector-Based Angular Synchronization

Mark Iwen, Brian Preskitt+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于局部相关测量的鲁棒、确定性相位恢复算法，具有改进的理论保证和计算效率。通过将问题提升到提升空间中的线性系统，并利用特征向量计算（例如，逆幂迭代）求解，该方法在大规模问题（尤其是具有紧支撑掩模的情况）下，相比PhaseLift和交替投影方法，展现出更优的噪声鲁棒性和速度。

ABSTRACT

We improve a phase retrieval approach that uses correlation-based measurements with compactly supported measurement masks [27]. The improved algorithm admits deterministic measurement constructions together with a robust, fast recovery algorithm that consists of solving a system of linear equations in a lifted space, followed by finding an eigenvector (e.g., via an inverse power iteration). Theoretical reconstruction error guarantees from [27] are improved as a result for the new and more robust reconstruction approach proposed herein. Numerical experiments demonstrate robustness and computational efficiency that outperforms competing approaches on large problems. Finally, we show that this approach also trivially extends to phase retrieval problems based on windowed Fourier measurements.

研究动机与目标

• 开发一种适用于局部相关测量的确定性、鲁棒相位恢复算法，以匹配实际成像设置。
• 改进在局部测量下相位恢复的理论重建误差界，特别是在噪声条件下。
• 为现有方法（如PhaseLift和Gerchberg-Saxton）提供一种计算高效的替代方案，具备快速收敛和低复杂度。
• 将框架扩展至加窗傅里叶测量，证明其广泛应用潜力。
• 建立理论和数值证据，表明基于特征向量的同步方法可提升相位恢复的鲁棒性。

提出的方法

• 该方法将相位恢复问题提升至 $ d \times d $ 厄米特矩阵空间中的线性系统，通过与移位掩模投影的内积定义提升测量算子 $ \mathcal{A} $。
• 采用投影算子 $ T_\delta $ 将解空间限制为具有局部支撑的矩阵，以确保与紧支撑掩模的兼容性。
• 通过在提升空间中求解线性方程组，随后利用逆幂迭代计算解矩阵的主特征向量，完成重建。
• 该方法利用基于特征向量的角同步，实现重叠局部测量之间相位的一致估计。
• 该算法设计计算高效，由于结构化矩阵运算和移位不变性，其复杂度接近FFT时间。
• 通过将每个窗口视为局部测量块，将方法扩展至加窗傅里叶测量，保持相同的恢复框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于局部相关测量的确定性测量构造能否在噪声鲁棒性方面优于现有方法？
• RQ2 基于特征向量的角同步能否提升局部测量下相位恢复的重建精度和稳定性？
• RQ3 所提出的算法是否在保持低计算复杂度的同时，优于PhaseLift和交替投影方法，在速度和准确性方面均表现更优？
• RQ4 在不同信噪比和测量数量下，该方法表现如何，特别是在测量数量较少时？
• RQ5 该框架能否自然扩展至加窗傅里叶测量，并获得理论和实证支持？

主要发现

• 所提方法实现了优于[27]中先前理论保证的重建误差界，尤其在噪声条件下表现更优。
• 数值实验表明，该方法在重建精度上优于PhaseLift和交替投影方法，尤其在低信噪比和小测量数时（例如，40 dB信噪比下 $ D \approx 5d $）。
• 该方法比PhaseLift和交替投影快几个数量级，执行时间几乎与FFT同阶，证实了其计算效率。
• 在 $ D = 15d $ 测量数下，该方法的重建误差接近PhaseLift水平，但显著更快。
• 该方法在广泛信噪比范围内表现出鲁棒性，即使在高噪声下也保持一致性能，优于所有测试场景下的交替投影方法。
• 该框架可自然扩展至加窗傅里叶测量，表明其在标准局部相关设置之外也具有广泛应用潜力。