[论文解读] Phase Retrieval From the Magnitudes of Affine Linear Measurements

Gao Bing, Qiyu Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了仿射相位检索，其中信号从仿射线性测量的幅值中恢复（即带有常数项的线性测量）。它建立了仿射相位可检索性的必要和充分条件，表明在复数情况下仅需 3d 个测量——远少于标准相位检索所需的 4d−4 个测量——并证明仿射相位检索消除了标准相位检索中存在的模为一模糊性。

ABSTRACT

In this paper, we consider the phase retrieval problem in which one aims to recover a signal from the magnitudes of affine measurements. Let $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m \subset {\mathbb H}^d$ and ${\mathbf b}=(b_1, \ldots, b_m)^ op\in{\mathbb H}^m$, where ${\mathbb H}={\mathbb R}$ or ${\mathbb C}$. We say $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ are affine phase retrievable for ${\mathbb H}^d$ if any ${\mathbf x}\in{\mathbb H}^d$ can be recovered from the magnitudes of the affine measurements $\{|+b_j|,\, 1\leq j\leq m\}$. We develop general framework for affine phase retrieval and prove necessary and sufficient conditions for $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ to be affine phase retrievable. We establish results on minimal measurements and generic measurements for affine phase retrieval as well as on sparse affine phase retrieval. In particular, we also highlight some notable differences between affine phase retrieval and the standard phase retrieval in which one aims to recover a signal $\mathbf x$ from the magnitudes of its linear measurements. In standard phase retrieval, one can only recover $\mathbf x$ up to a unimodular constant, while affine phase retrieval removes this ambiguity. We prove that unlike standard phase retrieval, the affine phase retrievable measurements $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ do not form an open set in ${\mathbb H}^{m imes d} imes {\mathbb H}^m$. Also in the complex setting, the standard phase retrieval requires $4d-O(\log_2d)$ measurements, while the affine phase retrieval only needs $m=3d$ measurements.

研究动机与目标

• 开发一种使用仿射线性测量的相位检索的一般数学框架，其中包含常数偏移。
• 确定一组仿射测量能够唯一恢复任意信号（至全局相位）的必要和充分条件。
• 研究仿射相位检索的最小测量要求和通用测量配置。
• 探讨在仿射相位检索设置下的稀疏信号恢复。
• 比较和对比仿射相位检索与标准相位检索，特别是在测量复杂度和模为一模糊性方面的差异。

提出的方法

• 将仿射相位检索形式化为从 |⟨a_j, x⟩ + b_j| 恢复信号 x ∈ ℍ^d，其中 a_j ∈ ℍ^d 且 b_j ∈ ℍ。
• 通过测量矩阵 A 和向量 b 定义仿射相位可检索性，建立 x 可被唯一恢复的条件。
• 利用代数几何和框架理论推导仿射相位可检索性的必要和充分条件。
• 分析所需最小测量数，证明在复数情况下 m = 3d 足够。
• 证明仿射相位可检索测量的集合在 ℍ^{m×d} × ℍ^m 中不是开集，这与标准相位检索不同。
• 应用利普希茨稳定性分析，表明测量映射在小扰动下是稳定的，尽管不是双利普希茨的。

实验结果

研究问题

• RQ1 测量向量 {a_j} 和偏移 {b_j} 需满足何种条件，才能确保从 |⟨a_j, x⟩ + b_j| 唯一恢复信号 x ∈ ℍ^d？
• RQ2 在实数和复数情况下，相位检索所需的最小仿射测量数是多少？
• RQ3 仿射偏移的引入如何消除标准相位检索中存在的模为一模糊性？
• RQ4 在参数空间 ℍ^{m×d} × ℍ^m 中，仿射相位可检索测量的集合是否为开集？
• RQ5 能否高效地使用仿射相位检索恢复稀疏信号？此类情况下测量要求是什么？

主要发现

• 仿射相位检索消除了模为一模糊性：信号可以精确恢复，而不仅限于全局相位。
• 在复数情况下，仅需 m = 3d 个测量即可实现相位检索，少于标准相位检索所需的 4d−4 个测量。
• 在 ℍ^{m×d} × ℍ^m 中，仿射相位可检索测量的集合不是开集，这是与标准相位检索的一个关键差异。
• 对于通用测量，在复数情况下 m = 3d 个测量即可实现仿射相位检索。
• 测量映射 M_{A,b} 在小扰动下是稳定的，满足如下下利普希茨边界：||M_{A,b}(x) - M_{A,b}(y)|| ≥ c / (1 + ||x|| + ||y||) ||x - y||。
• 通过构造序列表明，当信号范数增大时，输出距离与输入距离之比趋于零，因此映射 M_{A,b} 不是双利普希茨的。