[论文解读] Phase Retrieval via Sparse Wirtinger Flow

Ziyang Yuan, Qi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2017

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 14被引用 9

一句话总结

该论文提出稀疏Wirtinger流（SWF），一种用于稀疏相位恢复的两阶段算法，首先使用截断谱方法估计信号支撑，然后通过基于硬阈值的梯度下降法精炼估计。SWF在采样复杂度为$\mathcal{O}(k^2 \log n)$时实现几何收敛，计算复杂度为$\mathcal{O}(k^3 n \log n \log \frac{1}{\varepsilon})$，在恢复精度和鲁棒性方面优于最先进方法，尤其在稀疏性误设或存在噪声的情况下表现更优。

ABSTRACT

Phase retrieval(PR) problem is a kind of ill-condition inverse problem which can be found in various of applications. Utilizing the sparse priority, an algorithm called SWF(Sparse Wirtinger Flow) is proposed in this paper to deal with sparse PR problem based on the Wirtinger flow method. SWF firstly recovers the support of the signal and then updates the evaluation by hard thresholding method with an elaborate initialization. Theoretical analyses show that SWF has a geometric convergence for any $k$ sparse $n$ length signal with the sampling complexity $\mathcal{O}(k^2\mathrm{log}n)$. To get $\varepsilon$ accuracy, the computational complexity of SWF is $\mathcal{O}(k^3n\mathrm{log}n\mathrm{log}\frac{1}{\varepsilon})$. Numerical tests also demonstrate that SWF performs better than state-of-the-art methods especially when we have no priori knowledge about sparsity $k$. Moreover, SWF is also robust to the noise

研究动机与目标

• 解决在测量有限的病态、非凸反问题中稀疏相位恢复的挑战。
• 开发一种高效算法，利用稀疏性提升恢复性能并降低采样复杂度。
• 为$\mathbb{R}^n$中的$k$-稀疏信号实现具有采样和计算复杂度理论保证的几何收敛。
• 增强对噪声和稀疏性误设的鲁棒性，其中$k$的先验知识不准确。
• 在恢复率和收敛速度方面优于现有方法如SPARTA、ALTMIN和阈值化WF。

提出的方法

• 提出两阶段算法：首先使用合理规则恢复信号支撑，然后通过截断谱方法在估计支撑上初始化信号。
• 使用高斯最大似然目标函数，其为四阶光滑函数，具有利于优化的良性几何特性。
• 在第二阶段应用基于硬阈值的梯度下降法，以在保持稀疏性的同时精炼信号估计。
• 采用截断梯度更新以提升收敛性并避免局部极小值，尤其当$m$不显著大于$k$时。
• 采用结构良好的初始化方法，将信号限制在估计支撑上，从而提升收敛稳定性。
• 理论分析表明，在$\mathcal{O}(k^2 \log n)$采样复杂度下可实现几何收敛，且最小非零项的大小在$\frac{1}{k}\|\mathbf{x}\|$量级。

实验结果

研究问题

• RQ1 两阶段Wirtinger流方法能否在低采样复杂度下实现稀疏相位恢复的几何收敛？
• RQ2 当先验稀疏性$k$误设时，SWF的表现如何，即$\mathbf{k}$的先验知识不准确时？
• RQ3 与SPARTA和ALTMIN等最先进方法相比，SWF的计算复杂度和采样复杂度如何？
• RQ4 SWF在测量中存在加性高斯噪声时的鲁棒性如何？
• RQ5 当$m$不显著大于$k$时，SWF中截断梯度更新策略是否仍能保持性能？

主要发现

• SWF在采样复杂度为$\mathcal{O}(k^2 \log n)$时实现几何收敛，显著低于先前方法对$m/n > 3$的要求。
• 对于$\varepsilon$-精度恢复，SWF的计算复杂度为$\mathcal{O}(k^3 n \log n \log \frac{1}{\varepsilon})$。
• 在数值测试中，当先验稀疏性$k$设为100而真实稀疏性为10时，SWF仍实现95%的恢复率，优于SPARTA在稀疏性误设下的表现。
• SWF在$m/n = 1.5$时保持100%的恢复率，并在噪声下表现出更优的鲁棒性，SNR为5–10 dB时平均NMSE低于SPARTA和ALTMIN。
• SWF的迭代次数少于阈值化WF（例如在$m/n = 1$时为79 vs. 697），尽管迭代次数更多，但总耗时仍快于SPARTA。
• 在案例研究中，当$n = m = 3$，$k = 1$，先验$k = 2$时，SPARTA停滞于局部极小值，而SWF收敛至真实信号，NMSE低于$10^{-5}$。