[论文解读] Phase Retrieval via Structured Modulations in Paley-Wiener Spaces

Fanny Yang, Volker Pohl+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 10被引用 16

一句话总结

本文提出一种针对连续时间带限信号在Paley-Wiener空间中的相位恢复方法，采用结构化调制与过采样。通过在幅度采样前使用余弦函数调制信号，实现了在奈奎斯特速率四倍采样率下对全局相位以外的完美重建，将有限维相位恢复结果扩展至无限维连续信号。

ABSTRACT

This paper considers the recovery of continuous time signals from the magnitude of its samples. It uses a combination of structured modulation and oversampling and provides sufficient conditions on the signal and the sampling system such that signal recovery is possible. In particular, it is shown that an average sampling rate of four times the Nyquist rate is sufficient to reconstruct a signal from its magnitude measurements.

研究动机与目标

• 为解决从仅幅度样本中重建连续时间信号的挑战，该问题在X射线晶体学、语音处理和成像中普遍存在。
• 将有限维相位恢复结果——即N维信号仅需4N−2个测量值——推广至无限维Paley-Wiener空间中的带限信号。
• 建立充分条件，以确保通过结构化调制与过采样，能够稳定且唯一地从强度测量中重建信号。
• 证明平均采样率四倍于奈奎斯特速率足以实现全局相位以外的完美信号恢复。

提出的方法

• 引入一个调制阵列，在幅度采样前将信号与余弦函数相乘，生成具有结构化干涉图案的信号，从而保留与相位相关的信息。
• 采用具有重叠插值序列Λ^a的采样方案，采样周期β的选择使得该序列在Paley-Wiener空间中保持完备插值性。
• 利用调制后信号的傅里叶变换可分解为包含原始信号与余弦项之和的形式，从而实现相位信息在测量中的传播。
• 应用正弦型函数与指数型整函数的理论，从未采样幅度中重建调制后的信号。
• 通过重建调制信号的逆傅里叶变换，恢复原始信号至全局相位，利用条件T′ ≥ T。
• 依赖于当插值序列是正弦型函数的零点集时，Bernstein空间B∞^{T′/2}中重建的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的信号处理下，是否可从仅幅度样本中唯一恢复连续时间带限信号？
• RQ2 何种采样率与调制结构足以确保Paley-Wiener空间中信号的稳定且唯一相位恢复？
• RQ3 与无限维信号空间中的标准过采样相比，结构化调制在相位恢复性能上如何提升？
• RQ4 有限维相位恢复结果（N维信号需4N−2个测量值）在多大程度上可推广至连续带限信号？

主要发现

• 当结合结构化调制时，平均采样率四倍于奈奎斯特速率足以从幅度样本中实现Paley-Wiener空间中信号的完美重建。
• 当K=2、a=1且T′=T时，最小采样率4R_Ny得以实现，确认在所提方案下4倍奈奎斯特速率是紧致边界。
• 在L¹范数有界的R_M(T)空间中的信号，可借助所提方法从幅度测量中恢复至全局相位。
• 即使在缺乏信号支持或z变换约束的先验知识下，重建仍保持稳定且唯一（至全局相位）。
• 该方法可通过时间域与频率域互换推广至带限信号，将调制器替换为线性滤波器，并在时间域中采样。
• 通过整函数理论、Riesz基与正弦型函数理论建立了理论保证，确保在插值序列扰动下仍具鲁棒性。