[论文解读] Phase space formalism for quantum estimation of Gaussian states

Alex Monràs|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用 74

一句话总结

本文为高斯态的量子估计发展了一种通用的相空间形式化方法，将对称对数导数（SLD）和量子费舍尔信息（QFI）用态的一阶与二阶矩表示。证明了在第一矩固定且威廉姆森对角形式相同的模型中——包括纯态——最优同频探测可达到终极量子极限，且QFI完全由Wigner函数的可访问特征及其估计速率决定。

ABSTRACT

We formulate, with full generality, the asymptotic estimation theory for Gaussian states in terms of their first and second moments. By expressing the quantum Fisher information (QFI) and the elusive symmetric logarithmic derivative (SLD) in terms of the state's moments (and their derivatives) we are able to obtain the noncommutative extension of the well known expression for the Fisher information of a Gaussian probability distribution. Focusing on models with fixed first moments and identical Williamson 'diagonal' states --which include pure state models--, we obtain their SLD and QFI, and elucidate what features of the Wigner function are fundamentally accessible, and at what rates. In addition, we find the optimal homodyne detection scheme for all such models, and show that for pure state models they attain the fundamental limit.

研究动机与目标

• 通过用相空间矩表示对称对数导数（SLD）和量子费舍尔信息（QFI），弥合量子估计理论与高斯态形式化之间的鸿沟。
• 通过分析Wigner函数的可访问特征及其估计速率，确定高斯态参数估计的根本极限。
• 确定高斯测量——特别是同频探测——在广泛模型类（包括纯态模型）中的最优性。
• 建立同频探测达到量子Cramér-Rao界（即根本精度极限）的充分条件。
• 通过利用高斯态的相空间结构与辛变换，推广先前关于最优测量方案的结果。

提出的方法

• 用高斯态的一阶与二阶矩（均值与协方差矩阵）表达对称对数导数（SLD）与量子费舍尔信息（QFI），从而为高斯分布实现非交换的类经典费舍尔信息扩展。
• 通过利用Wigner函数结构与辛不变性，推导出第一矩固定且威廉姆森对角形式相同的模型（包括所有纯态模型）的QFI与SLD。
• 利用被动高斯变换（正交辛矩阵）证明，任何规范正交分量的线性组合均可通过变换模式上的同频探测实现。
• 证明对于此类模型，对合适分量的同频探测可实现最大经典费舍尔信息，其上界为 $ I_{\mathrm{cl}}^\star = \frac{1}{2}\mathrm{tr}[\phi(\lambda^2)] $，其中 $ \phi $ 是一个单位元、保迹、完全正的映射。
• 应用Kadison-Schwartz不等式，表明异频探测无法超越最优同频探测的性能，并证明对于纯态，同频探测在所有量子测量中均为最优。
• 分析辅助系统的作用，表明添加高斯辅助系统无法超越同频探测的估计性能，从而支持将研究重点集中于同频测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用高斯态的一阶与二阶矩表示对称对数导数（SLD）与量子费舍尔信息（QFI）？
• RQ2 Wigner函数的哪些特征在参数估计中是根本可访问的，其估计速率如何？
• RQ3 在何种条件下，同频探测对高斯态模型中的参数估计为最优？
• RQ4 对于纯态模型，能否通过同频探测渐近达到量子Cramér-Rao界？
• RQ5 是否存在一类广义高斯模型，使得同频探测达到根本精度极限？其与异频或其他高斯测量相比表现如何？

主要发现

• 高斯态的SLD与QFI完全由态的一阶与二阶矩及其导数决定，从而实现了量子估计理论的相空间形式化。
• 对于第一矩固定且威廉姆森对角形式相同的模型（包括所有纯态模型），最优同频探测方案可达到量子Cramér-Rao界，实现根本精度极限。
• 同频探测的经典费舍尔信息上界为 $ I_{\mathrm{cl}}^\star = \frac{1}{2}\mathrm{tr}[\phi(\lambda^2)] $，其中 $ \phi $ 是由辛变换导出的单位元、保迹、完全正的映射。
• 通过Kadison-Schwartz不等式与 $ \mathrm{tr}[\phi_{a}(\lambda)\phi_{b}(\lambda)] $ 的正性，表明异频探测无法超越最优同频探测的性能。
• 任何规范正交分量的线性组合均可通过被动高斯变换与同频探测实现，证明了最优可观测量的可实现性，且无需非高斯或主动操作。
• 结果推广了早期发现，并确立了对于纯态模型，同频探测不仅在高斯测量中为最优，且在所有可能的量子测量中均为最优。