[论文解读] Phase transition in one-dimensional subshifts

Nicolai Haydn|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文构建了具有正拓扑熵的显式一维混合子移位，其具有多个最大熵的遍历测度，以及针对 Hölder 连续势函数的多个相互奇异的平衡态。通过在长零块之间嵌入多个分离的全移位，作者表明即使在不可约、混合的系统中，也可能不存在唯一的平衡态，从而挑战了在正则性条件下唯一性的普遍假设。

ABSTRACT

In this note we give simple examples of a one-dimensional mixing subshift with positive topological entropy which have two distinct measures of maximal entropy. We also give examples of subshifts which have two mutually singular equilibrium states for Hölder continuous functions. We also indicate how the construction can be extended to yield examples with any number of measures of maximal entropy of equilibrium states.

研究动机与目标

• 证明一维混合子移位在正拓扑熵下可具有多个最大熵的遍历测度，从而反驳唯一性的普遍假设。
• 构造具有多个相互奇异的平衡态的示例，适用于 Hölder 连续势函数，扩展了典型唯一性结果的范围。
• 将构造方法推广至产生具有任意有限或无限多个不同平衡态的系统。
• 提供显式、简单的示例，以说明符号动力系统中的相变现象，而无需依赖复杂或病态的势函数。

提出的方法

• 在字母表 𝒜 = {0} ∪ 𝒢 ∪ 𝒴 上定义一个子移位 Σ，其中 𝒢 和 𝒴 分别为不相交的绿色和黄色符号集合，各自构成全移位。
• 引入一个转移规则，要求在不同颜色的词之间使用长度 ≥ τ(|α| + |β|) 的零块分隔，τ > 0 确保混合性。
• 通过将单个全移位 Σ𝒢 上的 Hölder 连续势函数 f 扩展至所有嵌入的全移位 Σj，构造 Σ 上的势函数 g，其中 g 在零词上取值为 sup f。
• 利用变分原理，证明压力 P(g) 由支持在单个嵌入全移位 Σj 上的不变测度实现。
• 通过熵和压力估计，证明当 τ 足够大时，多色词的贡献可忽略不计，从而确保平衡态集中在单个颜色移位上。
• 证明当 P𝒢(f) ≥ sup f + log 2 且 τ 足够大时，每个嵌入移位均支持一个不同的、相互奇异的 g 的平衡态。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维混合子移位在正拓扑熵下是否可能具有多个最大熵的遍历测度？
• RQ2 在混合子移位上，Hölder 连续势函数是否必然具有唯一的平衡态？
• RQ3 此类系统中不同平衡态的数量是否可被控制，并推广至无穷？
• RQ4 过渡规则（如零块长度 τ）的何种条件可确保平衡态相互奇异且支持在嵌入子移位上？
• RQ5 在不同 τ 和 ν 值下，扩展势函数的压力量 P(g) 与各嵌入子移位上的压力量相比如何？

主要发现

• 当 τ ≥ log 3 / log ν 时，所构造子移位的拓扑熵为 log ν，与每个嵌入全移位的熵相等。
• 当 τ ≥ log 3ν / (P𝒢(f) − sup f) − 1 时，系统对扩展势函数 g 具有两个相互奇异的平衡态。
• 当 L ≥ 2 个嵌入全移位时，若 τ ≥ log(5ν) / (P𝒢(f) − sup f) − 1，则系统支持 L 个相互奇异的平衡态。
• 当存在无限多个嵌入全移位且 ν ≥ 3 时，若 τ ≥ log 5ν / (P₁(f) − sup f) − 1，则系统具有无限多个相互奇异的平衡态。
• 扩展势函数 g 的压力量 P(g) 等于 P𝒢(f)，确认每个嵌入移位均贡献一个独立的平衡态。
• 该构造确保对所有 τ > 0 均具有拓扑混合性，表明非唯一性现象甚至在具有强混合性质的系统中也会发生。