[论文解读] Phase transition of the six-state clock model observed from the entanglement entropy

Roman Krčmár, Andrej Gendiar+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本研究使用边界转移矩阵重正化群（CTMRG）方法，研究了正方形晶格上六状态钟模型的贝雷津-科斯特利茨-图思（Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, BKT）相变。通过分析纠缠熵峰值温度的有限尺寸标度，作者估算出临界相变温度为 $ T_1 = 0.70 $ 和 $ T_2 = 0.88 $，与先前结果一致，且无需依赖热力学函数或序参量。

ABSTRACT

The Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) transitions of the six-state clock model on the square lattice are investigated by means of the corner-transfer matrix renormalization group method. The classical analogue of the entanglement entropy $S( L, T )$ is calculated for $L$ by $L$ square system up to $L = 129$, as a function of temperature $T$. The entropy has a peak at $T = T^{*}_{~}( L )$, where the temperature depends on both $L$ and boundary conditions. Applying the finite-size scaling to $T^{*}_{~}( L )$ and assuming the presence of BKT transitions, the transition temperature is estimated to be $T_1^{~} = 0.70$ and $T_2^{~} = 0.88$. The obtained results agree with previous analyses. It should be noted that no thermodynamic function is used in this study.

研究动机与目标

• 使用纠缠熵作为探测工具，研究六状态钟模型在正方形晶格上的BKT相变。
• 在不依赖传统热力学函数或序参量的前提下，确定临界相变温度 $ T_1 $ 和 $ T_2 $。
• 在六状态钟模型的背景下，验证BKT有限尺寸标度假设对纠缠熵峰值温度的适用性。
• 通过分析不同边界条件下纠缠熵峰值的标度行为，确认BKT相变的普遍性。

提出的方法

• 采用边界转移矩阵重正化群（CTMRG）方法，计算尺寸为 $ L imes L $ 的系统中经典纠缠熵 $ S(L,T) $，最大达到 $ L = 129 $。
• 分析 $ S(L,T) $ 的温度依赖性，分别在自由边界和固定边界条件下识别峰值位置 $ T^*_1(L) $ 和 $ T^*_2(L) $。
• 基于BKT形式 $ T^*(L) = T_C + \alpha / [\ln(\beta L)]^2 $ 进行有限尺寸标度，将峰值温度外推至热力学极限。
• 使用对数标度假函数拟合峰值位置 $ T^*_1(L) $ 和 $ T^*_2(L) $，分别取参数 $ \beta = 1.62 $ 和 $ \beta = 2.88 $，以实现线性标度。
• 通过将温度轴按 $ [T - T^*(L)] \cdot [\ln(\beta L)]^2 $ 重新标度，验证标度坍缩，显示收敛至一个通用峰值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅通过纠缠熵可靠地检测六状态钟模型中的BKT相变，而无需依赖热力学函数？
• RQ2 在不同边界条件下，纠缠熵峰值温度 $ T^*(L) $ 的有限尺寸标度行为如何？
• RQ3 从纠缠熵标度中提取的临界温度 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 是否与先前研究的公认值一致？
• RQ4 BKT标度假设 $ T^*(L) = T_C + \alpha / [\ln(\beta L)]^2 $ 是否能准确描述峰值温度随系统尺寸的变化？

主要发现

• 在自由边界条件下，纠缠熵 $ S(L,T) $ 在 $ T^*_1(L) $ 处出现峰值，且随系统尺寸 $ L $ 增大而升高，表明在 $ T_1 $ 附近存在临界区域。
• 在固定边界条件下，峰值出现在 $ T^*_2(L) $，且随 $ L $ 增大而减小，与 $ T_2 $ 处的BKT相变一致。
• 基于BKT形式对 $ T^*_1(L) $ 和 $ T^*_2(L) $ 进行有限尺寸标度，外推得到热力学极限下的相变温度 $ T_1 = 0.70 $ 和 $ T_2 = 0.88 $。
• 将 $ S(L,T)/\ln L $ 对重新标度后的温度 $ [T - T^*(L)] \cdot [\ln(\beta L)]^2 $ 进行标度坍缩，证实了BKT相变的普遍性及标度假设的有效性。
• 结果与蒙特卡罗模拟、螺旋模量和费希尔零点分析的先前估计一致，验证了纠缠熵作为BKT相变可靠探测工具的有效性。
• 该方法成功在不计算自由能导数或使用序参量的情况下识别出临界温度，展示了纠缠熵在经典相变探测中的实用性。