[论文解读] Phase transitions in Z_N gauge theory and twisted Z_N topological phases

Maissam Barkeshli, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Dec 11, 2010

Metal and Thin Film Mechanics被引用 3

一句话总结

本文提出了一类新的非交换拓扑相——'扭曲' $Z_N$ 态，其通过 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 规范场论对阿贝尔 $Z_N$ 规范理论中的 $Z_2$ 电-磁对称性进行规范化而导出。这些态在三维伊辛 universality 类中通过连续量子相变出现，并通过具有 $Z_2$ 分数化特性的费顿构造实现，对于 $N>2$ 时表现出非阿贝尔统计性质和时间反演对称性破缺。关键成果是在具有局域相互作用的强关联玻色子系统中实现了这些相的显式微观实现。

ABSTRACT

We find a series of non-Abelian topological phases that are separated from the deconfined phase of Z_N gauge theory by a continuous quantum phase transition. These non-Abelian states, which we refer to as the "twisted" Z_N states, are described by a recently studied $U(1) imes U(1) times Z_2$ Chern-Simons (CS) field theory. The $U(1) imes U(1) times Z_2$ CS theory provides a way of gauging the global Z_2 electric-magnetic symmetry of the Abelian Z_N phases, yielding the twisted Z_N states. We introduce a parton construction to describe the Abelian Z_N phases in terms of integer quantum Hall states, which then allows us to obtain the non-Abelian states from a theory of Z_2 fractionalization. The non-Abelian twisted Z_N states do not have topologically protected gapless edge modes and, for N > 2, break time-reversal symmetry.

研究动机与目标

• 识别并表征一类新的非阿贝尔拓扑相——'扭曲' $Z_N$ 态，其源于阿贝尔 $Z_N$ 相中 $Z_2$ 电-磁对称性的规范化。
• 通过具有 $Z_2$ 分数化特性的费顿构造，在强关联玻色子系统中建立这些非阿贝尔态的微观实现。
• 确定阿贝尔 $Z_N$ 脱禁闭相与非阿贝尔扭曲 $Z_N$ 相之间连续量子相变的性质。
• 阐明扭曲 $Z_N$ 态的拓扑序与对称性性质，特别是其对于 $N>2$ 时缺乏受保护的无能隙边界模式以及时间反演对称性破缺。

提出的方法

• 作者采用具有整数耦合常数的 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 规范场论来描述扭曲 $Z_N$ 态的有效低能场论。
• 他们利用整数量子霍尔态构建阿贝尔 $Z_N$ 相的费顿表示，通过 $Z_2$ 分数化实现非阿贝尔统计性质。
• 采用 $K$-矩阵形式描述拓扑序，其中 $K$-矩阵由 $SU(N)\times SU(N)\times SU(N)$ 的卡坦生成元导出，并通过归一化确保大规范变换的一致性。
• 该理论包含大规范变换和作用于卡坦子代数的离散 Weyl 群对称性，确保 $K$-矩阵完整捕捉了环面上的拓扑简并度。
• 在环面上对系统进行正则化，设定 $a_0^I = 0$，导致哈密顿量为零，波函数表示为满足规范不变性约束的动量态之和。
• 分析表明，Weyl 群在态空间上作用平凡，验证了 $K$-矩阵作为理论完整拓扑不变量的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非阿贝尔拓扑相能否作为阿贝尔 $Z_N$ 规范理论的连续量子相变实现？
• RQ2 $Z_2$ 电-磁对称性在拓扑相中生成非阿贝尔统计性质中起什么作用？
• RQ3 如何利用 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 规范场论同时描述阿贝尔与非阿贝尔拓扑相？
• RQ4 通过费顿构造与 $Z_2$ 分数化，其微观机制如何在具有局域相互作用的系统中实现这些非阿贝尔态？
• RQ5 为何扭曲 $Z_N$ 态对于 $N>2$ 时缺乏受保护的无能隙边界模式且破缺时间反演对称性？

主要发现

• 具有整数耦合常数的 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ 规范场论描述了一类称为扭曲 $Z_N$ 态的非阿贝尔拓扑相，其与阿贝尔 $Z_N$ 规范理论有本质区别。
• 这些扭曲 $Z_N$ 态通过三维伊辛 universality 类中的连续量子相变与阿贝尔 $Z_N$ 脱禁闭相相连。
• 该理论的 $K$-矩阵由 $SU(N)\times SU(N)\times SU(N)$ 的卡坦生成元导出，行列式为 $N^2$，确认了环面上的拓扑简并度。
• 规范群的 Weyl 群在态空间上作用平凡，意味着 $K$-矩阵完整捕捉了拓扑序而无需额外识别。
• 对于 $N>2$，扭曲 $Z_N$ 态破缺时间反演对称性，与阿贝尔 $Z_N$ 相相反，且不支持拓扑保护的无能隙边界模式。
• 通过整数量子霍尔态的 $Z_2$ 分数化构建的费顿构造，为这些非阿贝尔相在具有局域相互作用的强关联玻色子系统中提供了微观实现。