[论文解读] Phase Transitions of Best-of-Two and Best-of-Three on Stochastic Block Models

Nobutaka Shimizu, Takeharu Shiraga|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 40被引用 2

一句话总结

本文研究了在随机块模型 G(2n, p, q) 上的 Best-of-Two 与 Best-of-Three 投票过程，展示了基于社区间边密度比 r = q/p 的共识时间相变。当 r 超过阈值（Best-of-Two 为 r* = √5−2，Best-of-Three 为 r* = 1/7）时，对于任意初始偏差为 Ω(n) 的情况，共识可在 O(log log n + log n / log(np)) 步内完成；否则，共识可能需要 2^Ω(n) 步。当 p 为常数且 r > r* 时，无论初始配置如何，共识均在 O(log n) 步内完成。

ABSTRACT

This paper is concerned with voting processes on graphs where each vertex holds one of two different opinions. In particular, we study the \emph{Best-of-two} and the \emph{Best-of-three}. Here at each synchronous and discrete time step, each vertex updates its opinion to match the majority among the opinions of two random neighbors and itself (the Best-of-two) or the opinions of three random neighbors (the Best-of-three). Previous studies have explored these processes on complete graphs and expander graphs, but we understand significantly less about their properties on graphs with more complicated structures. In this paper, we study the Best-of-two and the Best-of-three on the stochastic block model $G(2n,p,q)$, which is a random graph consisting of two distinct Erdős-Rényi graphs $G(n,p)$ joined by random edges with density $q\leq p$. We obtain two main results. First, if $p=ω(\log n/n)$ and $r=q/p$ is a constant, we show that there is a phase transition in $r$ with threshold $r^*$ (specifically, $r^*=\sqrt{5}-2$ for the Best-of-two, and $r^*=1/7$ for the Best-of-three). If $r>r^*$, the process reaches consensus within $O(\log \log n+\log n/\log (np))$ steps for any initial opinion configuration with a bias of $Ω(n)$. By contrast, if $rr^*$, we show that, for any initial opinion configuration, the process reaches consensus within $O(\log n)$ steps. To the best of our knowledge, this is the first result concerning multiple-choice voting for arbitrary initial opinion configurations on non-complete graphs.

研究动机与目标

• 分析具有社区结构图上多选投票过程的共识动力学。
• 理解社区连通性（通过 q/p）如何影响随机块模型中共识时间。
• 在非完全图与非扩展图上，建立 Best-of-Two 与 Best-of-Three 过程的共识时间相变。
• 将已知的完全图与扩展图结果推广至具有社区结构的更复杂随机图模型。
• 为稀疏随机块模型上任意初始意见配置提供共识时间的紧致界。

提出的方法

• 在 G(2n, p, q) 上建模投票过程，即一个具有两个等大小社区的随机块模型，社区间以密度 q ≤ p 连接。
• 通过使用定理 6.2 将随机过程近似为确定性动力系统，以界定向随机轨迹与确定性轨迹之间的偏差。
• 应用动力系统理论工具研究收敛性与固定点逃逸，尤其关注共识附近及固定点稳定性的行为。
• 使用集中不等式与方差界（引理 10.6）验证动力系统近似适用的条件。
• 通过分析确定性近似中固定点的稳定性来建立相变阈值，特别是 r = q/p 的临界值行为。
• 利用谱性质与图扩展特性（如 fBo2_1-good 与 fBo2_2-good 条件）确保在不同图参数范围内近似的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意初始意见配置且初始偏差为 Ω(n) 的情况，Best-of-Two 过程在随机块模型 G(2n, p, q) 上的共识时间是多少？
• RQ2 Best-of-Three 过程的共识时间是否随社区间边密度比 r = q/p 的变化而发生相变？
• RQ3 在随机块模型上，当 p 为常数且 r > r* 时，是否无论初始配置如何，共识都能在 O(log n) 步内完成？
• RQ4 Best-of-Two 与 Best-of-Three 过程的阈值 r* 是多少，超过该值后共识可保证快速达成？
• RQ5 随机块模型的结构如何影响从固定点的逃逸以及向共识的收敛？

主要发现

• 对于 Best-of-Two 过程，若 p = ω(log n / n) 且 r = q/p > √5−2，则对于任意初始偏差为 Ω(n) 的配置，共识以高概率在 O(log log n + log n / log(np)) 步内完成。
• 若 r < √5−2，则存在一个初始偏差为 Ω(n) 的配置，使得 Best-of-Two 过程至少需要 2^Ω(n) 步才能达到共识。
• 对于 Best-of-Three 过程，若 p = ω(log n / n) 且 r > 1/7，则对于任意初始偏差为 Ω(n) 的配置，共识以高概率在 O(log log n + log n / log(np)) 步内完成。
• 当 p 为常数且 r > r* 时，无论初始意见配置如何，Best-of-Two 与 Best-of-Three 过程均在 O(log n) 步内达到共识。
• 相变阈值是尖锐的：Best-of-Two 的 r* = √5−2，Best-of-Three 的 r* = 1/7，分别标志着快速共识与指数级缓慢共识的分界。
• 本研究首次为非完全图上多选投票过程在任意初始配置下的共识时间建立了时间界，拓展了先前在完全图与扩展图上的研究成果。