[论文解读] Phaseless inverse problems with interference waves

V. G. Romanov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对椭圆方程相位无关反问题的新方法，通过使用两个点源（入射源与辅助源）产生的干涉条纹，测量全场的模。在适当的几何与渐近条件下，证明了相位无关数据可唯一确定有界区域内的势函数或折射率，通过高频下波的干涉渐近分析，将问题转化为经典的反向运动学或层析成像问题。

ABSTRACT

We consider two phaseless inverse problems for elliptic equation. The statements of these problems differ from have considered. Namely, instead of given information about modulus of scattering waves, we consider the information related to modulus of full fields, which consist of sums of incident and scattering fields. These full fields are the interference fields generated by point sources. We introduce a set of auxiliary point sources for solving the inverse problems and demonstrate that the corresponding data allow us to solve the inverse problems in a way similar to the case of measurements of scattering waves.

研究动机与目标

• 解决仅测量全场（入射场 + 散射场）模的相位无关反问题，而非仅测量散射场。
• 通过引入辅助点源生成受控的干涉条纹，克服全场数据带来的复杂性。
• 证明此类干涉场的相位无关数据可唯一确定有界区域内的未知系数（势函数或折射率）。
• 将具有全场数据的相位无关反问题转化为已知的正向问题——层析成像与反向运动学问题，从而可应用已知的唯一性与稳定性结果。
• 建立条件，使得可从干涉数据中重构黎曼距离函数，进而实现折射率的恢复。

提出的方法

• 引入两个点源：一个位于边界点 $ y \to S $，另一个辅助源 $ z^{(j)}(y) $ 位于 $ -y $ 处球面切平面上远离 $ -y $ 的位置，构成一个具有三个不同位置的直角三角形。
• 将观测域 $ S_+(z^{(j)}) $ 定义为从每个辅助源照射到球面 $ S $ 的照亮部分，以确保数据的几何多样性。
• 利用当 $ k \to ∞ $ 时，Helmholtz 型方程解的渐近展开，表明全场行为近似为两个复指数之和，其相位因子涉及黎曼距离。
• 推导全场模的平方，其在 $ k $ 上近似为几乎周期函数，振荡依赖于黎曼距离之差 $ \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $。
• 应用先前工作 [12] 中的程序，提取该几乎周期函数的周期，从而识别出距离差 $ \rho(x,y) = \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $。
• 通过结合来自三个不同辅助源位置 $ z^{(1)}, z^{(2)}, z^{(3)} $ 的数据，重构所有 $ x,y \in S $ 的 $ \tau(x,y) $，从而解决反向运动学问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测量数据为全场（入射场 + 散射场）模而非仅散射场模时，相位无关反问题是否可解？
• RQ2 利用两个点源（真实源与辅助源）的干涉是否能唯一恢复有界区域内的未知系数？
• RQ3 在高频下，能否从相位无关的干涉数据中重构黎曼距离函数 $ \tau(x,y) $？
• RQ4 在何种几何与渐近条件下，干涉数据可使问题约化为经典反向运动学问题？
• RQ5 当使用全场模而非散射场模时，解的唯一性是否仍然保持？

主要发现

• 在每个观测点使用三个辅助源的干涉设置下，具有全场模数据的相位无关反问题具有唯一解。
• 在高频 $ k \geq k_0 $ 时，全场模包含一个几乎周期分量，其周期编码了距离差 $ \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $，可通过已知程序提取。
• 通过结合来自三个不同辅助源位置 $ z^{(1)}, z^{(2)}, z^{(3)} $ 的数据，可对所有 $ x,y \in S $ 唯一重构完整的黎曼距离 $ \tau(x,y) $，从而解决反向运动学问题。
• 在黎曼度量为简单度量的假设下，$ \tau(x,y) $ 在 $ S \times S $ 上的重构可实现 $ \Omega_0 $ 内折射率 $ n(x) $ 的恢复。
• 该问题约化为经典反向运动学问题，其唯一性与稳定性结果在文献中已有充分建立，从而验证了本方法的有效性。
• 条件 $ |z^{(j)}(y) + y| = \ell > R\sqrt{(1+2n_1)^2 - 1} $ 确保相位差足够大，可实现周期的无歧义提取，从而保证方法的可行性。