[论文解读] Phasing spaces of matroids

Emanuele Delucchi, Elia Saini|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过组合、代数和几何方法，研究并刻画了在固定拟阵 M 上的相位类空间。研究证明该空间同构于内 Tutte 群的 Pontrjagin 对偶的一个子空间，并据此计算了内 Tutte 群的秩，界定了重定向类的数量，且证明了在任意秩上均存在不可实现的、非基阵的均匀相位拟阵。

ABSTRACT

We study the space of phasing classes of phased matroids over a fixed matroid M. We generalize methods of Gel'fand, Rybnikov and Stone and we obtain three different characterizations: one of combinatorial flavor, via projective phasings (in terms of the circuits and cocircuits of M), one algebraic, as a certain subspace of the Pontrjagin dual of the inner Tutte group of M, and one geometrical as a subspace of the torus $(S^1)^N$. As applications, we provide an effectively computable formula for the rank of the inner Tutte group, we give an upper bound on the number of reorientation classes of oriented matroids on M, we prove the existence of non-realizable, non-chirotopal uniform phased matroids in any rank and we show that the complements of complex hyperplane arrangements with the same uniform matroid are diffeomorphic.

研究动机与目标

• 理解固定拟阵 M 上相位类的结构。
• 将 Gel'fand、Rybnikov 和 Stone 的方法推广，以多种方式刻画相位空间。
• 从相位空间的刻画中推导出计算与拓扑上的结论。
• 建立在任意秩上存在不可实现的、非基阵的均匀相位拟阵的证明。
• 证明具有相同均匀拟阵的复超平面排列的补集是微分同胚的。

提出的方法

• 通过 M 的基和余基上的射影相位刻画相位空间的组合结构。
• 将相位空间代数地表示为 M 的内 Tutte 群的 Pontrjagin 对偶的一个子空间。
• 将相位空间几何地嵌入到环面 (S¹)^N 中。
• 利用内 Tutte 群的结构，推导出其秩的可有效计算的公式。
• 应用该刻画以界定向拟阵在 M 上的重定向类数量。
• 利用几何嵌入证明具有同构均匀拟阵的复超平面排列的补集是微分同胚的。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定拟阵 M 上的相位类空间具有怎样的结构？
• RQ2 如何通过组合、代数和几何方法刻画相位空间？
• RQ3 拟阵 M 的内 Tutte 群的秩是多少？能否有效计算？
• RQ4 在任意秩上是否存在不可实现的、非基阵的均匀相位拟阵？
• RQ5 具有相同均匀拟阵的复超平面排列的补集是否微分同胚？

主要发现

• 推导出拟阵 M 的内 Tutte 群秩的可有效计算的公式。
• 建立了定向拟阵在 M 上的重定向类数量的上界。
• 在任意秩上均存在不可实现的、非基阵的均匀相位拟阵。
• 具有相同均匀拟阵的复超平面排列的补集是微分同胚的。
• 相位类空间同构于内 Tutte 群的 Pontrjagin 对偶的一个子空间。
• 相位空间自然地嵌入为环面 (S¹)^N 的一个子空间。