[论文解读] Phononic band structure of honeycomb lattice with defects, using spectrally formulated finite element method

Sushovan Mukherjee, S. Gopalakrishnan|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于谱形式有限元法（SFEM）并结合布洛赫理论的方法，用于计算具有缺陷与无缺陷的蜂窝晶格中的声子能带结构。通过使用铁摩欣科梁单元将梁单元建模为一维波导，并利用维特里克-威廉姆斯算法求解所得特征值问题，该方法在高频下实现了高精度，同时显著减少了网格划分。其主要贡献在于构建了一个稳健的框架，用于分析缺陷引起的能带结构变化，包括简并性破缺和超胞模型中的虚假能带。

ABSTRACT

A spectrally formulated finite element analysis based methodology has been proposed to calculate phononic band structure of reticulated honeycomb lattices having translationally invariant repetitive elements called unit cells. Bloch formulation captures dynamics of infinite structure through that of a unit cell. While conventional FEM is generally used for analyzing dynamics of such unit systems, here, constituent structural members are treated as 1D waveguide and modeled as Timoshenko beam frame element, enabling application of spectral FEM, suitable for accurately analyzing the dynamics, particularly efficient at very high frequencies. Using exact solutions as shape functions spares dense meshing. Resulting eigenvalue problem is solved by Wittrick-Williams method, an iterative scheme. Subsequently, band structures are obtained for supercells- units comprising multiple elemental unit cells; compared and reconciled with those obtained using elemental cell (termed primitive unit cell to distinguish from supercell). Primitive cell band structures are reconstructed from Supercell band structures. Supercell band structures show some spurious bands, which are explained in terms of band folding in the primitive cell band structure. Supercell allows treatment of defects as a periodic feature with certain defect density. Of particular observation in such band structures is the separation of bands, known as degeneracy breaking.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效且精确的声子能带结构计算方法，适用于多孔蜂窝晶格。
• 克服传统FEM在高频动力学中的局限性以及对紧密间隔特征值分辨率差的问题。
• 通过将缺陷视为超胞内的周期性特征，实现对周期性晶格中缺陷的系统性分析。
• 研究缺陷几何形状与密度对能带结构的影响，特别是简并性破缺与能带分裂现象。
• 提供一种可兼容并行计算的框架，以支持未来涉及蒙特卡洛模拟或缺陷统计的大规模仿真。

提出的方法

• 采用一维铁摩欣科梁框架单元对结构进行建模，以表征各梁成员的波导行为。
• 利用布洛赫定理将无限周期结构简化为单个原胞，从而通过代表性单元分析整个晶格。
• 谱有限元公式采用精确的动态形函数，避免了密集网格划分，提升了高频精度。
• 通过维特里克-威廉姆斯算法求解所得隐式特征值问题，该算法可迭代计数并定位所有特征值，确保无遗漏。
• 采用超胞（由多个原始单位胞组成）来模拟周期性缺陷，从而实现对缺陷晶格的能带结构分析。
• 将超胞的能带结构与原始胞的能带结构进行对比与校正，揭示了由于能带折叠导致的虚假能带。

实验结果

研究问题

• RQ1 与传统FEM相比，谱有限元法在计算高频声子能带结构时，如何提升精度与效率？
• RQ2 超胞基能带结构中的虚假能带由何原因引起？其与原始胞中能带折叠的关系是什么？
• RQ3 不同缺陷构型（如位错）如何影响声子能带结构，特别是在简并性破缺方面？
• RQ4 缺陷在多大程度上改变了能带结构？是否可通过平均百分比偏差进行量化？
• RQ5 所提出的方法能否通过并行化扩展至大规模缺陷统计或蒙特卡洛模拟？

主要发现

• 所提出的SFEM-布洛赫方法通过使用精确的动态形函数，在高频下实现了高精度，无需密集网格划分。
• 维特里克-威廉姆斯算法成功求解隐式特征值问题，确保即使特征值紧密相邻也无遗漏。
• 超胞能带结构中存在因能带折叠引起的虚假能带，通过细致分析可与原始胞能带结构实现校正。
• 缺陷导致简并性破缺，表现为能带分裂，且分裂幅度随缺陷强度增加而增大。
• 在6×6超胞中存在单个位错缺陷且刚度偏差为30%时，能带结构的平均百分比偏差约为0.03%。
• 对称性分析可解释为何在某些高对称路径（如OA和AB）上，即使缺陷取向不同，能带结构仍几乎保持一致。