[论文解读] Physics and the choice of regulators in functional renormalisation group flows

Jan Μ. Pawlowski, Michael M. Scherer+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 5

一句话总结

本文研究了在功能型重整化群（FRG）流中调节器选择对截断计算的影响，提出了一种基于最小化理论空间中RG轨迹长度的实用优化程序。结果表明，调节器形状和相对截断尺度在多场模型（如O(2)⊕O(2)和费米子多铁系统）中显著影响结果，强调了在截断中谨慎选择调节器以确保物理一致性和准确性的必要性。

ABSTRACT

The Renormalisation Group is a versatile tool for the study of many systems where scale-dependent behaviour is important. Its functional formulation can be cast into the form of an exact flow equation for the scale-dependent effective action in the presence of an infrared regularisation. The functional RG flow for the scale-dependent effective action depends explicitly on the choice of regulator, while the physics does not. In this work, we systematically investigate three key aspects of how the regulator choice affects RG flows: (i) We study flow trajectories along closed loops in the space of action functionals varying both, the regulator scale and shape function. Such a flow does not vanish in the presence of truncations. Based on a definition of the length of an RG trajectory, we suggest a practical procedure for devising optimised regularisation schemes within a truncation. (ii) In systems with various field variables, a choice of relative cutoff scales is required. At the example of relativistic bosonic two-field models, we study the impact of this choice as well as its truncation dependence. We show that a crossover between different universality classes can be induced and conclude that the relative cutoff scale has to be chosen carefully for a reliable description of a physical system. (iii) Non-relativistic continuum models of coupled fermionic and bosonic fields exhibit also dependencies on relative cutoff scales and regulator shapes. At the example of the Fermi polaron problem in three spatial dimensions, we illustrate such dependencies and show how they can be interpreted in physical terms.

研究动机与目标

• 解决截断功能型重整化群（FRG）流中的调节器依赖性问题，尽管底层物理是调节器无关的，但该依赖性可能扭曲物理结果。
• 在给定截断内开发一种实用的调节器选择优化框架，重点是最小化理论空间中RG轨迹的长度。
• 研究在多场系统（包括相对论性标量场模型和非相对论性费米子-玻色子系统）中，相对截断尺度和调节器形状的影响。
• 阐明截断引起的调节器依赖性如何影响临界指数和物理可观测量，特别是在具有多种场类型或对称性的模型中。
• 提供一种系统化方法，通过显式选择调节器和尺度，评估并提升FRG结果的可靠性。

提出的方法

• 引入一种几何优化准则：通过功能空间中流路径的积分，最小化理论空间中RG轨迹的长度。
• 推导出在同时改变调节器尺度和形状时，理论空间中闭合环路的可积性条件，揭示了在截断方案中存在非零流。
• 将轨迹长度准则应用于比较O(1)模型和O(2)⊕O(2)模型中平坦、尖锐和线性插值调节器的性能。
• 使用涉及调节器导数的显式流方程，如平坦调节器的$ J^{ ext{A}}( u) $和尖锐调节器的$ J^{ ext{B}}( u) $，计算流中的不连续性。
• 在3D费米子多铁子问题中，使用耦合的流方程求解分子和杂质传播子，分别对费米子和玻色子场施加调节器。
• 通过参数$ c $实现调节器之间的连续插值（例如从平坦到尖锐），取$ c \to \infty $的极限以提取不连续性并量化调节器敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 调节器形状的选择在多场系统中如何影响截断FRG流的收敛性和准确性？
• RQ2 在O(2)⊕O(2)等模型中，不同场之间的相对截断尺度在多大程度上影响物理结果（如临界指数）？
• RQ3 是否可以利用几何准则——最小化理论空间中RG轨迹的长度——来系统性地优化截断中的调节器选择？
• RQ4 在不同形状的调节器（如平坦与尖锐）之间插值时，流中出现的不连续性具有何种物理意义？
• RQ5 在非相对论性模型（如费米子多铁子）中，调节器依赖效应如何表现，能否进行物理解释？

主要发现

• 理论空间中RG轨迹的长度可作为调节器质量的定量度量，轨迹越短，收敛性越好，截断赝象越少。
• 当在有限调节器与尖锐调节器之间插值时，由于后者在红外区域具有无穷大导数，流中会出现不连续性，即使其贡献较小，该效应仍占主导地位。
• 在O(2)⊕O(2)模型中，改变两个O(2)场之间的相对截断尺度会引发不同普适类之间的交叉，表明此类选择并非任意，而必须具有物理依据。
• 在3D费米子多铁子系统中，调节器形状和相对截断尺度显著影响逆传播子的流，其物理意义与屏蔽和关联效应相关。
• 所提出的优化程序——最小化轨迹长度——为给定截断内调节器选择提供了一种实用且系统化的方法，可提高结果的可靠性并减少系统误差。
• 显式计算表明，通过连续极限（$ c \to \infty $）可提取尖锐调节器引起的流不连续性，揭示出对数发散，其对应于有效势的常数偏移，可通过减去该偏移予以消除。