[论文解读] Physics-Based Causal Lifting Linearization of Nonlinear Control Systems Underpinned by the Koopman Operator

Nicholas Selby, Filippos E. Sotiropoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出两种基于物理的改进方法，以解决基于Koopman的非线性控制系统升维线性化中的因果性问题：(1) 用其积分变量替代反因果可观测变量；(2) 通过引入小质量惯性元件或电容性元件来打破输入依赖关系。这些方法使得能够使用物理测量的可观测变量实现精确、因果、数据驱动的建模，在数值基准测试中显著优于现有最先进方法。

ABSTRACT

Methods for constructing causal linear models from nonlinear dynamical systems through lifting linearization underpinned by Koopman operator and physical system modeling theory are presented. Outputs of a nonlinear control system, called observables, may be functions of state and input, $\\phi(x,u)$. These input-dependent observables cannot be used for lifting the system because the state equations in the augmented space contain the time derivatives of input and are therefore anticausal. Here, the mechanism of creating anticausal observables is examined, and two methods for solving the causality problem in lifting linearization are presented. The first method is to replace anticausal observables by their integral variables $\\phi^*$, and lift the dynamics with $\\phi^*$, so that the time derivative of $\\phi^*$ does not include the time derivative of input. The other method is to alter the original physical model by adding a small inertial element, or a small capacitive element, so that the system's causal relationship changes. These augmented dynamics alter the signal path from the input to the anticausal observable so that the observables are not dependent on inputs. Numerical simulations validate the effectiveness of the methods.

研究动机与目标

• 解决基于Koopman的升维线性化中，当可观测变量依赖于外部输入时所引发的根本性因果性问题。
• 识别非线性控制系统中反因果可观测变量的物理解释来源，特别是能量耗散元件中的成因。
• 开发尊重因果性的升维方法，保持物理解释性，并利用真实传感器测量数据。
• 在不依赖合成、对噪声敏感的可观测变量的前提下，实现非线性控制系统的精确、数据驱动系统辨识。
• 弥合基于Koopman的自治系统建模与实际控制系统设计之间的鸿沟，实现基于实测输入输出的建模。

提出的方法

• 将依赖于输入的可观测变量 φ(x,u) 替换为其积分变量 φ* = ∫φ dt，确保 φ* 的时间导数不涉及 ẋ 或 Ẇ，从而恢复因果性。
• 在物理系统中增加一个小质量惯性元件（质量）或电容性元件（弹簧），以改变信号路径，使反因果可观测变量与未来输入的依赖关系解耦。
• 利用所得的增强动力学，在Koopman算子框架下推导出因果的升维状态空间模型。
• 使用基于物理定律推导出的可观测函数来构建升维系统，确保与动态模式分解（DMD）和系统辨识方法的兼容性。
• 将该方法应用于具有非线性本构关系的非线性弹簧阻尼系统，与KSOS和AL2/IL2基线方法进行性能对比验证。
• 通过比较基于真实可观测变量（DFL）与合成可观测变量（KSOS）构建的模型，验证所提方法在测量噪声下的鲁棒性，结果表明所提方法具有更优的抗噪能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在非线性控制系统中，依赖于输入的可观测变量会在基于Koopman的升维方法下导致反因果升维模型？
• RQ2 该因果性问题是否可追溯至控制系统中能量耗散元件的物理结构？
• RQ3 通过物理系统增强（如增加质量或电容）是否可在不改变系统行为的前提下恢复升维模型的因果性？
• RQ4 将反因果可观测变量替换为其积分形式，是否能消除因果性违规，同时保持模型精度？
• RQ5 与使用合成可观测变量的现有Koopman升维技术相比，所提方法在精度和抗噪性方面表现如何？

主要发现

• 在具有随机输入的非线性弹簧阻尼系统上，基于积分的方法（AL2）在中位数误差（1.0 vs. 1.6）上优于基于惯性增强的方法（IL2）。
• IL2方法在第90百分位误差上表现更优（2.1 vs. 2.4），表明其在不同输入信号下具有更一致的性能。
• 与KSOS相比，所提方法显著降低了模型误差，尤其在噪声环境下，KSOS因合成可观测变量中的噪声放大而迅速退化。
• DFL（直接使用物理可观测变量）相比KSOS展现出更优的抗噪鲁棒性，证实了测量真实信号相较于计算合成信号的优势。
• 在KSOS中改进基函数（如采用高阶多项式或傅里叶基）虽能带来微小性能提升，但缺乏对系统连接结构的物理解释，效果有限。
• 因果性问题的根源在于能量耗散元件，其输出依赖于外部输入；而能量存储元件（如弹簧）不会引入反因果性。