[论文解读] Physics-Informed CNNs for Super-Resolution of Sparse Observations on Dynamical Systems

Daniel Kelshaw, George Rigas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2022

Advanced Image Processing Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出物理信息卷积神经网络（PINNs）用于混沌湍流动力系统中稀疏观测的超分辨率，例如科莫戈罗夫流。通过将残差学习架构与强制满足纳维-斯托克斯方程的PDE残差损失相结合，该方法在不依赖插值的情况下实现了更高保真度的高分辨率场重建，相对ℓ²误差为0.0872—显著低于双线性插值（0.2091）和双三次插值（0.1717）。

ABSTRACT

In the absence of high-resolution samples, super-resolution of sparse observations on dynamical systems is a challenging problem with wide-reaching applications in experimental settings. We showcase the application of physics-informed convolutional neural networks for super-resolution of sparse observations on grids. Results are shown for the chaotic-turbulent Kolmogorov flow, demonstrating the potential of this method for resolving finer scales of turbulence when compared with classic interpolation methods, and thus effectively reconstructing missing physics.

研究动机与目标

• 解决在高保真度数据不可用的动力系统中，从稀疏、部分观测重建高分辨率场的挑战。
• 通过将物理定律嵌入学习过程，将超分辨率性能超越标准插值方法。
• 证明物理信息卷积神经网络能够重建混沌流（如科莫戈罗夫流）中缺失的湍流物理机制。
• 在具有复杂多尺度动力学和谱混叠现象的湍流、混沌系统上验证该方法。
• 表明基于残差的损失正则化可实现去混叠，并恢复低分辨率数据中不存在的细尺度结构。

提出的方法

• 使用结合观测保真度与PDE残差最小化的混合损失训练物理信息卷积神经网络。
• 网络通过基于VDSR的架构与双三次上采样，将Ωₗ上的低分辨率观测映射到Ωₕ上的高分辨率预测。
• 残差损失ℒ_R通过计算预测场的时间导数和非线性算子，强制满足纳维-斯托克斯方程。
• 采用时间窗技术，在τ=2个连续时间步上计算残差，实现在无需完全连续数据情况下的局部时间正则化。
• 通过卷积层中的周期性填充强制施加周期性边界条件，以保持谱特性。
• 使用Adam优化损失函数，学习率α=1×10⁵，以平衡观测项与残差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息卷积神经网络能否从混沌湍流动力系统中的稀疏观测中重建高分辨率场？
• RQ2 将PDE残差引入损失函数是否能实现优于标准插值的超分辨率？
• RQ3 该模型在多大程度上能恢复低分辨率数据中不存在的细尺度湍流结构？
• RQ4 该方法在科莫戈罗夫流中对因欠采样引起的谱混叠具有怎样的缓解效果？
• RQ5 当真实高分辨率数据不可用时，该模型能否泛化以重建缺失的物理机制？

主要发现

• 物理信息卷积神经网络在高分辨率场上的相对ℓ²误差为0.0872，优于双线性插值（0.2091）和双三次插值（0.1717）。
• 预测的能量谱捕捉到了高达|k| ≈ 10¹的细尺度湍流，而插值场因混叠现象更早出现偏差。
• 通过PDE正则化学习实现去混叠，模型成功缓解了谱混叠。
• 网络重建了低分辨率观测中不可见的湍流结构，表明恢复了缺失的物理机制。
• 由于周期性填充导致边界伪影，高波数处能量谱出现发散。
• 通过在τ=2个时间步上进行时间窗残差计算，该方法在稀疏、非连续观测下表现出鲁棒性。