[论文解读] Physics Informed Deep Learning (Part II): Data-driven Discovery of Nonlinear Partial Differential Equations

Maziar Raissi, Paris Perdikaris+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Model Reduction and Neural Networks被引用 316

一句话总结

作者开发了用于从稀少或带噪声数据中，在时空域内跨域发现非线性PDEs的物理信息神经网络（PINNs），使用连续时间和离散时间两种形式来识别控制方程。

ABSTRACT

We introduce physics informed neural networks -- neural networks that are trained to solve supervised learning tasks while respecting any given law of physics described by general nonlinear partial differential equations. In this second part of our two-part treatise, we focus on the problem of data-driven discovery of partial differential equations. Depending on whether the available data is scattered in space-time or arranged in fixed temporal snapshots, we introduce two main classes of algorithms, namely continuous time and discrete time models. The effectiveness of our approach is demonstrated using a wide range of benchmark problems in mathematical physics, including conservation laws, incompressible fluid flow, and the propagation of nonlinear shallow-water waves.

研究动机与目标

• 在未知参数下，激发并形式化基于数据的非线性PDE发现。
• 开发连续时间和离散时间的PINN框架，以从数据中推断PDE算子和参数。
• 在基准测试（Burgers、Navier–Stokes、KdV）中展示对噪声和数据稀疏性的鲁棒性。
• 展示PINNs能够从部分观测中恢复完整状态及辅助量（如压力）。

提出的方法

• 用神经网络表示状态u(t,x)，并通过自动微分强制实现PDE残差f := u_t + N[u; lambda]。
• 通过最小化将数据失真和在配点处的PDE残差结合起来的损失来训练（MSE_u + MSE_f）。
• 对于Navier–Stokes，通过强制连续性并在f和g残差中求解lambda，联合学习速度分量和压力。
• 在离散时间中，使用Runge-Kutta时间步进将两个时刻的快照联系起来，并训练用于Runge-Kutta阶段解的神经网络以及lambda，通过最小化两个快照的SSE来训练。
• 将其应用于Burgers、Navier–Stokes和KdV方程，使用带噪声和稀疏数据，提升推断参数的鲁棒性和准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限、可能带噪声的数据下，未知的非线性PDE参数lambda是否能被准确识别？
• RQ2 如何设计连续时间和离散时间PINN框架以分别处理散点数据和两个时间瞬时的数据快照？
• RQ3 PINNs在部分观测下不仅能恢复支配方程，还能恢复辅助场量（如压力）到何种程度？
• RQ4 数据密度、噪声以及网络/ RK方案选择对PDE发现的准确性和鲁棒性有何影响？
• RQ5 该框架能否处理高阶导数并在稀疏数据下仍然识别潜在动力学？

主要发现

• PINNs能够以高精度识别Burgers方程的参数，并在数据噪声高达10%时保持鲁棒。
• 在噪声下，Navier–Stokes参数恢复在lambda1上实现亚0.2%的误差，在lambda2上约5–6%的误差。
• 仅从速度数据就能在Navier–Stokes中定性地恢复压力场，至多一个加性常数。
• 使用Runge-Kutta公式的离散时间PINN能够从两个较远的快照中准确恢复参数，即使存在噪声和较大间隙。
• KdV示例展示了从带噪声的稀疏快照中对高阶PDE参数的准确恢复。
• 总体而言，物理信息学习为预测建模、控制和优化提供了准确、可微的代理模型。