[论文解读] Physics-Informed Extreme Theory of Functional Connections Applied to Data-Driven Parameters Discovery of Epidemiological Compartmental Models

Enrico Schiassi, Andrea D’Ambrosio+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文提出了一种物理信息极端函数连接理论（X-TFC）框架，用于通过从含噪声和无扰动数据中发现未知参数，解决流行病学分 compartment 模型（SIR、SEIR、SEIRS）中的逆问题。通过将控制常微分方程（ODE）作为函数插值中的硬约束嵌入，X-TFC 实现了快速、精确且鲁棒的参数估计，计算成本低，即使在显著噪声水平下也优于标准回归方法，避免了过拟合。

ABSTRACT

In this work we apply a novel, accurate, fast, and robust physics-informed neural network framework for data-driven parameters discovery of problems modeled via parametric ordinary differential equations (ODEs) called the Extreme Theory of Functional Connections (X-TFC). The proposed method merges two recently developed frameworks for solving problems involving parametric DEs, 1) the Theory of Functional Connections (TFC) and 2) the Physics-Informed Neural Networks (PINN). In particular, this work focuses on the capability of X-TFC in solving inverse problems to estimate the parameters governing the epidemiological compartmental models via a deterministic approach. The epidemiological compartmental models treated in this work are Susceptible-Infectious-Recovered (SIR), Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered (SEIR), and Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered-Susceptible (SEIR). The results show the low computational times, the high accuracy and effectiveness of the X-TFC method in performing data-driven parameters discovery of systems modeled via parametric ODEs using unperturbed and perturbed data.

研究动机与目标

• 解决流行病学建模中病态逆问题的挑战，其中参数估计对数据噪声和模型不确定性敏感。
• 开发一种确定性、物理信息框架，将函数连接理论（TFC）与物理信息神经网络（PINNs）结合，以提高在参数发现中的鲁棒性和准确性。
• 通过使用干净和含噪声数据，证明 X-TFC 框架在估计 SIR、SEIR 和 SEIRS 模型参数方面的有效性，确保稳定性与收敛性。
• 在保持高精度的同时减少计算时间，使紧急响应场景中的实时更新成为可能。
• 通过与标准回归基线对比，验证该方法避免对含噪声数据过拟合的能力。

提出的方法

• 将函数连接理论（TFC）与极限学习机（ELM）优化相结合，构建满足初始条件和 ODE 约束的参数化解。
• 将分 compartment 模型（SIR、SEIR、SEIRS）的控制参数化常微分方程（ODE）作为神经网络损失函数中的硬约束，确保物理一致性。
• 采用确定性优化框架，最小化 ODE 系统残差与数据拟合误差，将参数视为可学习变量。
• 应用极限学习机（ELM）算法，通过固定输入权重和偏置来加速训练，实现在极少超参数调优下的快速收敛。
• 构建具有内在满足初始条件和 ODE 动力学的约束函数形式，缩小搜索空间并提升训练稳定性。
• 使用无扰动和扰动数据集（噪声水平逐步增加，δ = 0.1, 1, 3）进行网络训练，以评估鲁棒性和泛化能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 X-TFC 框架能否从含噪声观测数据中准确估计 SIR、SEIR 和 SEIRS 模型中的未知参数？
• RQ2 当数据受噪声污染时，X-TFC 方法与标准回归相比，在避免过拟合方面表现如何？
• RQ3 X-TFC 在不同噪声水平下求解流行病学模型逆问题时的计算效率如何？
• RQ4 将 ODE 系统的物理特性嵌入网络架构在多大程度上提升了求解的稳定性和准确性？
• RQ5 当数据点数量有限或数据显著扰动时，X-TFC 是否仍能保持高参数估计精度？

主要发现

• 对于无噪声的 SIR 模型，X-TFC 仅用 3 次迭代即实现参数的精确恢复，CPU 时间为 0.004 秒，所有参数的绝对误差均为 0。
• 在 10% 噪声（δ = 0.1）下，X-TFC 估计得 β = 0.2971（误差：2.9×10⁻³），γ = 0.5996（误差：3.7×10⁻⁴），σ = 0.9005（误差：4.9×10⁻⁴），R₀ = 0.4955（误差：4.5×10⁻³），表现出高精度。
• 对于 δ = 3 的 SEIR 模型，X-TFC 所有参数的绝对误差均低于 5×10⁻²，其中 β = 0.2130（误差：8.7×10⁻²），γ = 0.5878（误差：1.2×10⁻²），σ = 0.9141（误差：1.4×10⁻²），R₀ = 0.3624（误差：1.4×10⁻¹），显示出对高噪声的鲁棒性。
• 对于 δ = 3 的 SEIRS 模型，该方法所有参数的绝对误差均低于 6×10⁻²，包括 ζ = 0.5576（误差：5.8×10⁻²），表明在高扰动下仍具可靠性能。
• 在 SEIRS 模型中，δ = 3 时，X-TFC 框架仅需 110 次迭代和 1.36 秒即可完成参数估计，展现出良好的可扩展性和低计算成本。
• X-TFC 始终优于标准回归方法，即使在高噪声水平下也避免了对噪声数据的过拟合，表现为参数误差极小。