[论文解读] Physics-Informed Neural Nets for Control of Dynamical Systems

Eric Aislan Antonelo, Eduardo Camponogara+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 8

一句话总结

该论文提出物理信息神经网络控制（PINC），一种基于PINN的新架构，将控制输入和初始状态整合进连续时间神经网络，实现无预测退化问题的长时域仿真与实时模型预测控制（MPC）。该框架相比数值方法将ODE仿真速度提升最高达30%，并利用物理定律与稀疏数据实现样本高效的系统辨识。

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) impose known physical laws into the learning of deep neural networks, making sure they respect the physics of the process while decreasing the demand of labeled data. For systems represented by Ordinary Differential Equations (ODEs), the conventional PINN has a continuous time input variable and outputs the solution of the corresponding ODE. In their original form, PINNs do not allow control inputs, neither can they simulate for variable long-range intervals without serious degradation in their predictions. In this context, this work presents a new framework called Physics-Informed Neural Nets for Control (PINC), which proposes a novel PINN-based architecture that is amenable to control problems and able to simulate for longer-range time horizons that are not fixed beforehand, making it a very flexible framework when compared to traditional PINNs. Furthermore, this long-range time simulation of differential equations is faster than numerical methods since it relies only on signal propagation through the network, making it less computationally costly and, thus, a better alternative for simulation of models in Model Predictive Control. We showcase our proposal in the control of two nonlinear dynamic systems: the Van der Pol oscillator and the four-tank system.

研究动机与目标

• 为解决标准PINN在控制应用中的局限性，如缺乏对控制输入的集成以及长时域预测性能差的问题。
• 通过支持可变长度时间范围，使PINN可作为模型预测控制（MPC）中的预测模型。
• 通过结合物理定律与稀疏真实数据，减少对大规模标注数据集的依赖，实现高效的系统辨识。
• 通过用单次前向传播的神经网络推理替代迭代式数值ODE求解器，加速动力系统的仿真。
• 将PINN的应用范围扩展至涉及非线性、复杂系统且数据稀疏或噪声较大的工业控制问题。

提出的方法

• 在标准PINN架构基础上增加额外输入：连续时间 $t$、初始状态 $\mathbf{y}_0$ 和控制输入 $\mathbf{u}(t)$。
• 构建损失函数以包含ODE系统的残差，确保网络输出满足控制微分方程。
• 采用类似多点 shooting 的方法，通过在初始状态和控制输入条件下训练网络预测短时间间隔内的解。
• 结合物理约束（通过残差损失）与稀疏初始条件数据进行联合训练，最小化复合损失函数。
• 将训练好的PINC网络作为快速、可微分的仿真器嵌入MPC框架中，实现实时控制。
• 采用L-BFGS等优化技术实现精确训练，并探索跳跃连接等架构改进以提升梯度流动与模型精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于PINN的架构扩展以支持控制输入，并在不产生性能退化的情况下实现长时域仿真？
• RQ2 与传统数值ODE求解器相比，PINC框架在仿真速度与精度方面表现如何？
• RQ3 PINC网络在模拟可变、非固定时间范围时，其精度能保持到何种程度？
• RQ4 当系统参数或初始条件存在建模误差与不确定性时，PINC框架的鲁棒性如何？
• RQ5 PINC能否通过利用物理定律，在仅使用极少标注数据的情况下实现有效的模型预测控制（MPC）？

主要发现

• PINC框架可在可变时间区间内实现对ODE的高精度长时域仿真，且无显著预测退化，而标准PINN则存在此问题。
• 与传统数值ODE求解器相比，使用训练好的PINC网络进行仿真平均速度提升最高达30%，在PDE场景下甚至具备10倍加速潜力。
• 该框架成功实现了对Van der Pol振子与四罐系统的MPC控制，在参数扰动（如$k_1$、$k_2$存在5%误差）下仍保持稳定性能。
• PINC网络对初始条件扰动表现出强鲁棒性，在151次MPC运行中，不同网络深度（5层与8层）均保持一致的性能表现。
• 采用L-BFGS优化与跳跃连接显著提升了训练收敛速度与模型精度，尤其在深层架构中效果显著。
• 仅使用初始条件数据即实现了有效控制，表明若进一步引入稀疏真实数据，可进一步加速训练并提升模型鲁棒性。