[论文解读] Physics-informed neural networks for inverse problems in supersonic flows

Ameya D. Jagtap, Zhiping Mao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2022

Model Reduction and Neural Networks参考文献 33被引用 295

一句话总结

本文提出物理信息神经网络（PINNs）及其扩展的域分解变体（XPINNs），用于求解二维超音速可压缩流中具有挑战性的反问题，结合了欧拉方程、熵条件和正性约束。XPINNs 通过实现局部高容量网络，在激波和膨胀波问题上相比标准 PINNs 显著提升了精度，理论泛化界支持其在复杂、不连续解上的性能改进。

ABSTRACT

Accurate solutions to inverse supersonic compressible flow problems are often required for designing specialized aerospace vehicles. In particular, we consider the problem where we have data available for density gradients from Schlieren photography as well as data at the inflow and part of wall boundaries. These inverse problems are notoriously difficult and traditional methods may not be adequate to solve such ill-posed inverse problems. To this end, we employ the physics-informed neural networks (PINNs) and its extended version, extended PINNs (XPINNs), where domain decomposition allows deploying locally powerful neural networks in each subdomain, which can provide additional expressivity in subdomains, where a complex solution is expected. Apart from the governing compressible Euler equations, we also enforce the entropy conditions in order to obtain viscosity solutions. Moreover, we enforce positivity conditions on density and pressure. We consider inverse problems involving two-dimensional expansion waves, two-dimensional oblique and bow shock waves. We compare solutions obtained by PINNs and XPINNs and invoke some theoretical results that can be used to decide on the generalization errors of the two methods.

研究动机与目标

• 解决超音速可压缩流中反问题的困难，特别是涉及激波和不连续性的反问题。
• 克服传统数值求解器对完整边界条件和大计算域的依赖所导致的局限性。
• 开发一种无网格、数据驱动的方法，利用 PINNs 和 XPINNs 从稀疏、部分数据（如肖像仪密度梯度和边界条件）中推断完整的流场状态（密度、速度、压力）。
• 通过熵条件和密度、压力的正性约束来保证物理一致性，确保解的物理解释性。
• 比较 PINNs 与 XPINNs 在复杂超音速流构型下的预测精度和泛化性能。

提出的方法

• 采用物理信息神经网络（PINNs）将可压缩欧拉方程直接嵌入损失函数，实现无网格的正问题与反问题求解。
• 通过空间域分解将 PINNs 扩展为 XPINNs，使子域中具有复杂流动特征（如激波）的区域可使用局部优化的高容量神经网络。
• 在损失函数中引入熵条件作为额外约束，以选择粘性解并确保在不连续性存在时的物理一致性。
• 对密度和压力施加正性约束，防止网络输出出现非物理解。
• 采用自适应激活函数和动态损失加权策略，提升在具有陡峭梯度和不连续性问题中的训练稳定性和收敛性。
• 利用先前研究中的理论泛化界分析并比较 PINNs 与 XPINNs 的泛化性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 PINNs 和 XPINNs 是否能从稀疏数据（包括肖像仪密度梯度和部分边界条件）中准确重构完整的超音速流场状态（密度、速度、压力）？
• RQ2 与标准 PINNs 相比，XPINNs 中的域分解在激波和膨胀波反问题中如何提升解的精度和泛化能力？
• RQ3 熵条件和正性约束在多大程度上增强了基于 PINN 的可压缩流反问题解的物理保真度和稳定性？
• RQ4 自适应激活函数和动态损失权重在存在不连续性时如何影响 PINN 和 XPINN 解的收敛性和精度？
• RQ5 来自泛化界理论的哪些见解支持 XPINNs 在复杂流动场景中相对于 PINNs 的性能提升？

主要发现

• 在涉及斜激波、膨胀波和弓形激波的反问题中，XPINNs 相较于 PINNs 显著提升了预测精度，表现为密度、压力和速度场的点对点相对误差更低。
• 采用自适应激活函数和动态损失权重相比固定激活函数和固定权重，显著提升了收敛性和精度。
• 对熵条件及密度和压力正性约束的强制执行，产生了物理一致的解，尤其在正确捕捉激波特性和避免非物理振荡方面至关重要。
• 理论泛化界表明，尽管子域内数据减少可能带来过拟合风险，XPINNs 因每个子域的局部复杂度降低，实现了更优的泛化性能。
• XPINNs 中的域分解使得在高解复杂度区域（如激波前缘）可使用局部强大的网络，从而更准确地解析不连续特征。
• 在弓形激波问题中，XPINNs 表现更优，其密度和压力的点对点相对误差在整个域内稳定低于 10^-3，而 PINNs 在不连续性附近表现出更高的误差集中。