[论文解读] Physics-informed neural networks for solving forward and inverse flow problems via the Boltzmann-BGK formulation

Qin Lou, Xuhui Meng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 87被引用 167

一句话总结

该论文提出PINN-BGK，一种基于物理信息神经网络的框架，通过玻尔兹曼-BGK方程求解多尺度流动中的正问题与逆问题。通过将分布函数分解为平衡态与非平衡态分量，并利用损失最小化强制满足控制偏微分方程与边界条件，该方法在仅具备有限内部测量数据且未知边界条件的情况下，仍能实现连续流与稀薄流区域中速度场的高精度重构。

ABSTRACT

In this study, we employ physics-informed neural networks (PINNs) to solve forward and inverse problems via the Boltzmann-BGK formulation (PINN-BGK), enabling PINNs to model flows in both the continuum and rarefied regimes. In particular, the PINN-BGK is composed of three sub-networks, i.e., the first for approximating the equilibrium distribution function, the second for approximating the non-equilibrium distribution function, and the third one for encoding the Boltzmann-BGK equation as well as the corresponding boundary/initial conditions. By minimizing the residuals of the governing equations and the mismatch between the predicted and provided boundary/initial conditions, we can approximate the Boltzmann-BGK equation for both continuous and rarefied flows. For forward problems, the PINN-BGK is utilized to solve various benchmark flows given boundary/initial conditions, e.g., Kovasznay flow, Taylor-Green flow, cavity flow, and micro Couette flow for Knudsen number up to 5. For inverse problems, we focus on rarefied flows in which accurate boundary conditions are difficult to obtain. We employ the PINN-BGK to infer the flow field in the entire computational domain given a limited number of interior scattered measurements on the velocity with unknown boundary conditions. Results for the two-dimensional micro Couette and micro cavity flows with Knudsen numbers ranging from 0.1 to 10 indicate that the PINN-BGK can infer the velocity field in the entire domain with good accuracy. Finally, we also present some results on using transfer learning to accelerate the training process. Specifically, we can obtain a three-fold speedup compared to the standard training process (e.g., Adam plus L-BFGS-B) for the two-dimensional flow problems considered in our work.

研究动机与目标

• 解决传统PINN仅限于纳维-斯托克斯或欧拉方程时在连续流与稀薄流区域中模拟多尺度流动的局限性。
• 克服在稀薄流与复杂几何流动（如页岩气输运或微流体）中获取精确边界条件的困难。
• 开发统一的PINN框架，使用同一代码库与公式化方法求解正问题与逆问题。
• 在不依赖边界条件的前提下，仅基于稀疏、离散的内部速度测量数据，实现速度场的高精度重构。
• 展示迁移学习在加速多尺度流动问题训练中的可行性。

提出的方法

• 将离散速度形式下的玻尔兹曼-BGK方程进行公式化，以支持数值计算，同时保持守恒律。
• 设计三子网络架构：一个用于平衡态分布函数，一个用于非平衡态部分，一个用于编码完整PDE及边界/初始条件。
• 使用自动微分计算玻尔兹曼-BGK方程的残差，并在损失函数中强制施加。
• 最小化复合损失函数，该函数结合PDE残差、边界/初始条件不匹配项以及逆问题中测量速度的数据保真度项。
• 通过使用相似正问题的预训练权重初始化网络，应用迁移学习以加速收敛。
• 采用Adam优化器，随后使用L-BFGS-B进行微调，逆问题的训练数据由离散的内部速度测量构成。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息神经网络能否被扩展至求解在连续流与稀薄流区域中由玻尔兹曼-BGK方程控制的正问题与逆问题？
• RQ2 当仅提供稀疏、离散的内部速度测量数据且边界条件未知时，PINN在多尺度流动中重构完整速度场的能力如何？
• RQ3 与纯回归方法相比，引入基于物理的约束（PDE残差）在逆流动问题中对预测精度的提升程度如何？
• RQ4 迁移学习能否显著缩短复杂流动构型下PINN-BGK的训练时间？
• RQ5 在微尺度流动（如Couette流与腔体流）中，PINN-BGK在克努森数范围从0.01到10的条件下，对速度剖面的捕捉精度如何？

主要发现

• PINN-BGK在克努森数从0.01到5的范围内准确求解正问题，包括Taylor-Green流、腔体流与微尺度Couette流等基准流动。
• 在克努森数为0.1至10的微尺度Couette流与腔体流逆问题中，即使无边界条件，PINN-BGK仍能以低于9%的相对L2误差重构完整速度场（u-速度分量），v-速度分量误差低于22%。
• 当使用50个均匀分布的内部测量点时，Kn = 1.0下u-速度的相对L2误差为8.51%，测量点增至100个时降低至3.5%，表明数据密度提升可显著改善精度。
• 与纯回归方法相比，物理信息损失函数显著降低了预测误差：例如在Kn = 10时，u-速度误差由回归方法的31.87%降至PINN-BGK的8.56%。
• 在Kovasznay流案例中，迁移学习使训练速度提升三倍，相较于标准Adam + L-BFGS-B优化策略。
• 该方法成功捕捉了稀薄流中的速度滑移与非平衡效应，包括微腔体流中的复杂涡旋结构，即使数据有限亦表现良好。