[论文解读] Physics Informed Neural Networks for Two Dimensional Incompressible Thermal Convection Problems

Atakan Aygun, Ali Karakus|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种物理信息神经网络（PINN）框架，用于求解在Boussinesq近似下由Navier-Stokes方程和能量方程控制的二维不可压缩热对流问题。通过利用自动微分在损失函数中直接施加PDE方程和边界条件，该方法在解析解、稳态和非稳态基准问题上实现了对速度场和温度场的高精度预测，包括工业相关的部分阻塞通道流问题。

ABSTRACT

Physics informed neural networks (PINNs) have drawn attention in recent years in engineering problems due to their effectiveness and ability to tackle the problems without generating complex meshes. PINNs use automatic differentiation to evaluate differential operators in conservation laws and hence do not need to have a discretization scheme. Using this ability, PINNs satisfy governing laws of physics in the loss function without any training data. In this work, we solve various incompressible thermal convection problems including real applications and problems with comparable numerical or analytical results. We first consider a channel problem with an analytical solution to show the accuracy of our network. Then, we solve a thermal convection problem in a closed enclosure in which the flow is only due to the temperature gradients on the boundaries. Lastly, we consider steady and unsteady partially blocked channel problems that resemble industrial applications to power electronics.

研究动机与目标

• 开发一种无需网格、无需标注训练数据的求解不可压缩热对流问题的方法，基于物理信息神经网络（PINNs）。
• 在具有已知解析解或高阶数值解的问题上验证PINN框架的准确性与收敛性。
• 展示该方法在工业相关配置中的能力，如具有稳态和非稳态流态的局部阻塞通道。
• 研究损失函数加权和观测采样对解的精度与稳定性的影响。

提出的方法

• PINN框架使用全连接神经网络结合傅里叶特征映射，求解不可压缩的Navier-Stokes方程和能量方程，以缓解谱偏差问题。
• 损失函数结合了控制PDE（动量方程和能量方程）的残差、边界条件（狄利克雷和诺伊曼条件）以及时间依赖问题的初始条件。
• 通过自动微分计算网络输出的空间和时间导数，直接在损失函数中施加守恒定律。
• 对于时间依赖问题，采用连续时间方法，将时间视为额外的输入坐标，实现在整个时空域上的端到端训练。
• 在边界和域内采样观测点，以提高解的精度并施加物理约束。
• 使用Adam优化器，学习率为$5 \times 10^{-4}$，训练最多25,000次迭代。

实验结果

研究问题

• RQ1 PINNs是否能够在无需网格生成或标注训练数据的情况下准确求解二维不可压缩热对流问题？
• RQ2 在复杂几何中，观测点的引入如何影响PINN解的精度与收敛性？
• RQ3 傅里叶特征映射在热对流中学习高频或多尺度流场与温度场方面，能多大程度上提升学习效果？
• RQ4 PINNs在捕捉热对流中的非稳态瞬态行为方面表现如何，例如在部分阻塞通道中的流动发展过程？
• RQ5 PINN解对不同损失分量（PDE残差、边界条件、观测点）的相对权重有多敏感？

主要发现

• 对于具有已知闭式解的通道流问题，PINN能够准确复现解析解，表明在无训练数据条件下仍具有高精度。
• 在$Ra = 10^3$的方形腔体问题中，PINN解与预期的流场模式和温度分布一致，总损失在训练过程中持续下降。
• 在稳态部分阻塞通道情况下，PINN成功施加了无滑移、绝热和充分发展出口边界条件，生成了物理解释一致的速度和温度分布。
• 在$Re = 400$、$Pr = 0.7$、$Gr/Re^2 = 0.5$的非稳态多阻塞问题中，$t = 8$ s时的PINN解准确捕捉了热羽流和回流区的形成过程。
• 在边界和域内引入观测点显著提高了解的精度，尤其是在具有强梯度的区域。
• 该框架对损失权重敏感，最优性能需要对PDE残差、边界条件和观测项进行仔细平衡。