[论文解读] Physics with exotic probability theory

S. Youssef|ArXiv.org|Oct 29, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用 16

一句话总结

本文提出了一种基于贝叶斯原理的广义概率理论，允许概率为实数、复数或四元数，从而在不依赖波粒二象性的前提下推导出量子力学。研究表明，仅这三种代数能产生一致且非负的频率预测，复现标准量子理论的同时，提供更简洁、更基础的框架，潜在优势体现在量子场论和测量理论中。

ABSTRACT

Probability theory can be modified in essentially one way while maintaining consistency with the basic Bayesian framework. This modification results in copies of standard probability theory for real, complex or quaternion probabilities. These copies, in turn, allow one to derive quantum theory while restoring standard probability theory in the classical limit. The argument leading to these three copies constrain physical theories in the same sense that Cox's original arguments constrain alternatives to standard probability theory. This sequence is presented in some detail with emphasis on questions beyond basic quantum theory where new insights are needed.

研究动机与目标

• 在贝叶斯框架内推广标准概率理论，通过放松概率为实数且非负的假设。
• 探讨是否存在其他代数——特别是实数、复数和四元数——可产生一致且物理上有意义的概率理论。
• 证明这些奇异概率理论可复现标准量子力学，包括薛定谔方程和混合态，同时避免测量悖论。
• 在该框架下识别出量子场论、自旋统计以及洛伦兹不变性方面的开放问题。
• 研究时间的作用、规范场的出现，以及贝叶斯推理在奇异概率设定下的适用性。

提出的方法

• 通过移除概率为实数且非负的假设，改编考克斯的公理化概率理论推导，允许概率属于任意具有单位元的实结合代数。
• 施加概率必须具有平方范数的条件，以确保频率非负，从而将可行代数限制为实数、复数和四元数。
• 从R³或R⁴上复概率振幅推导出薛定谔方程和混合态。
• 使用路径积分形式，通过广义二次型导出卷积核，以恢复动力学方程。
• 应用傅里叶变换以反转时间导数核，导出波函数的偏微分方程，其形式基于转移概率的矩。
• 引入狄拉克核序列以建模时间演化，并从第一原理推导运动方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些结合代数可允许一致的奇异概率理论，使其通过平方范数产生非负频率并保持贝叶斯一致性？
• RQ2 奇异概率理论如何在不依赖波粒二象性的前提下复现标准量子力学，包括薛定谔方程和密度矩阵？
• RQ3 奇异概率理论能否如辛哈萨兰的无重整化兰姆移位计算所示，解决量子场论中常见的发散问题？
• RQ4 在奇异概率框架中，自旋与统计之间存在何种关系，特别是对多粒子系统而言？
• RQ5 时间自同构以及将时间解释为知识获取序列，如何影响奇异理论的物理预测？

主要发现

• 仅有三种奇异概率理论——实数、复数和四元数——能与通过平方范数产生非负频率的要求保持一致。
• 在R³或R⁴上使用复概率可复现标准量子力学的完整形式体系，包括薛定谔方程和混合态。
• 四元数概率导致狄拉克方程，暗示相对论性量子力学具有更深层的代数起源。
• 该理论避免了测量悖论和观察者问题，因为概率通过贝叶斯推理更新，无需波函数坍缩。
• 辛哈萨兰的工作表明，四元数概率的量子化可正确给出兰姆移位而无需重整化，表明其可能解决场论发散问题。
• 矢量势作为转移概率时间导数的一阶矩出现，暗示麦克斯韦方程可自然推广至复数与四元数场。