[论文解读] Picard groups in Poisson geometry

Henrique Bursztyn, Alan Weinstein|ArXiv.org|Apr 3, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 21

一句话总结

本文引入并研究了泊松几何中的Picard群，通过辛对偶对定义为可积泊松流形的Morita自同构群。该研究将经典代数中的Picard群概念推广至泊松几何，利用辛群丛和双模结构，同时提出通过叶层的叶空间将该框架扩展至非可积泊松流形。

ABSTRACT

We study isomorphism classes of symplectic dual pairs P P-, where P is an integrable Poisson manifold, S is symplectic, and the two maps are complete, surjective Poisson submersions with connected and simply-connected fibres. For fixed P, these Morita self-equivalences of P form a group Pic(P) under a natural ``tensor product'' operation. We discuss this group in several examples and study variants of this construction for rings (the origin of the notion of Picard group), Lie groupoids, and symplectic groupoids.

研究动机与目标

• 将可积泊松流形的Picard群定义为通过辛对偶对实现的Morita自同构群。
• 利用双模和辛群丛，将经典代数中的Picard群概念推广至泊松几何。
• 通过叶层的叶空间，提出一种包含非可积泊松流形的框架，以弥补现有几何Morita理论的局限性。
• 研究Picard群的李代数，并建议对泊松表示范畴进行丰富化。
• 将Morita等价性扩展至流形之外的更一般几何对象，如叶空间，以消除可积性和正则性约束。

提出的方法

• 将泊松流形P的Morita自同构定义为辛对偶对P ← S → P̄的同构类，其中S为辛流形，且映射为完备的、满射的泊松子丛，纤维为单连通、连通的流形。
• 通过张量积运算为这些自同构的集合赋予群结构，形成Picard群Pic(P)。
• 利用辛群丛理论和Weinstein群丛构造(Γ(A))，对泊松流形（特别是非可积情形）的基群丛进行建模。
• 提出不仅将辛双模视为流形，也视为横截辛叶层的叶空间，从而拓展几何对象的类别。
• 应用可微堆栈的语言和埃莱群丛的Morita等价类，以形式化叶空间之间的态射。
• 利用Crainic–Fernandes构造的Weinstein群丛Γ(A)（特别是泊松流形P的T*P）来定义广义的基本群丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典代数中的Picard群概念推广至泊松几何？
• RQ2 可积泊松流形的Morita自同构群的结构是什么？其通过辛对偶对如何构造？
• RQ3 能否通过用叶层的叶空间替代流形，将Morita等价性扩展至非可积泊松流形？
• RQ4 Weinstein群丛和泊松流形的基本群丛在扩展几何Morita理论中起什么作用？
• RQ5 如何丰富泊松流形的表示范畴，使得表示等价性蕴含Morita等价性？

主要发现

• 可积泊松流形P的Picard群Pic(P)被定义为在张量积运算下，Morita自同构的群，从而推广了代数中的Picard群。
• 对于可积泊松流形，任何Morita等价的总空间必须是光滑流形，因此标准的Morita等价性得以恢复。
• 对李代数丛A构造Weinstein群丛Γ(A)，可为泊松流形P提供一个规范的基本群丛，即使P是非可积的。
• 横截辛叶层的叶空间可作为广义的辛双模，从而为超越光滑流形的Morita等价性提供更广泛的框架。
• 利用可微堆栈和埃莱群丛的Morita等价类，可为叶空间之间的态射提供自然的语言形式化。
• 通过群丛的无穷小结构，可研究Picard群的李代数，提示其与泊松上同调及表示理论的联系。