[论文解读] Piecewise Analytic Subactions for Analytic Dynamics

Gonzalo Contreras, Artur O. Lopes+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文研究了在分段解析膨胀映射下，针对解析势函数 β log g 的 Ruelle 算子的特征函数 φ_β 的渐近行为。在唯一性和通用性条件下，证明了当 β → ∞ 时，极限 1/β log φ_β 是一个校准次作用，该次作用为分段解析，但未必在整体上解析，其解析性取决于最大概率测度的支集。

ABSTRACT

We consider a piecewise analytic expanding map f: [0,1]-> [0,1] of degree d which preserves orientation, and an analytic positive potential g: [0,1] -> R. We address the analysis of the following problem: for a given analytic potential beta log g, where beta is a real constant, it is well known that there exists a real analytic (with a complex analytic extension to a small complex neighborhood of [0,1]) eigenfunction phi_beta for the Ruelle operator. One can ask: what happen with the function phi_beta, when beta goes to infinity. The domain of analyticity can change with beta. The correct question should be: is 1/ beta log phi_beta analytic in the limit, when beta goes to infinity ? Under a uniqueness assumption, this limit, when beta goes to infinity, is in fact a calibrated subaction V (see bellow definition). We show here that under certain conditions and for a certain class of generic potentials this continuous function is piecewise analytic (but not analytic). In a few examples one can get that the subaction is analytic (we need at least to assume that the maximizing probability has support in a unique fixed point).

研究动机与目标

• 理解 Ruelle 算子的特征函数 φ_β 在 β → ∞ 时的极限行为。
• 确定归一化对数 1/β log φ_β 是否收敛到一个校准次作用 V。
• 在解析势函数和膨胀映射条件下，研究极限次作用 V 的正则性。
• 建立 V 为分段解析而非完全解析的条件。
• 探讨最大概率测度支集在决定次作用解析性中的作用。

提出的方法

• 分析在 [0,1] 上度为 d 的分段解析膨胀映射下，Ruelle 算子在解析函数上的作用。
• 考虑解析正势函数 g 及其对应的 Ruelle 算子特征函数 φ_β（对应于 β log g）。
• 应用复解析延拓技术，研究 φ_β 在 [0,1] 的复邻域中的性质。
• 利用唯一性假设，确保 1/β log φ_β 收敛到唯一的校准次作用 V。
• 运用热力学形式化和次作用理论中的技术，分析 V 的正则性。
• 通过分析最大概率测度的支集，研究 V 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 β → ∞ 时，极限 1/β log φ_β 是否存在并收敛到一个校准次作用？
• RQ2 在何种条件下，极限次作用 V 为分段解析而非完全解析？
• RQ3 最大概率测度的支集如何影响次作用 V 的解析性？
• RQ4 当最大概率测度的支集包含多个点时，V 是否仍可能为解析函数？
• RQ5 势函数的通用性在决定 V 的正则性方面起到何种作用？

主要发现

• 在唯一性假设下，当 β → ∞ 时，极限 1/β log φ_β 收敛到一个校准次作用 V。
• 极限次作用 V 为分段解析，但未必在整个区间 [0,1] 上解析。
• 仅当最大概率测度的支集为单个不动点时，V 的解析性才能得到保证。
• 对于通用势函数，由于在某些点处导数不连续，次作用 V 展现出分段解析结构。
• φ_β 的解析性定义域可能随 β 变化，但极限行为稳定为一个明确定义的次作用 V。
• 一般情况下，即使对于解析势函数，V 也并非解析，除非最大概率测度的支集为唯一不动点。