[论文解读] Piecewise constructions of inverses of cyclotomic mapping permutations

Yanbin Zheng, Yuyin Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Coding theory and cryptography被引用 3

一句话总结

本文提出了一种分段插值公式，该公式将拉格朗日插值推广至任意有限域，以高效计算置换多项式的显式逆，尤其适用于循环映射置换及形如 $x^r h(x^{(q-1)/d})$ 的多项式。该方法即使在 $q$ 较大时也能实现闭式逆的计算，而传统方法在此情况下计算上变得不可行。

ABSTRACT

Given a permutation polynomial $f(x)$ of a small finite field $\mathbb{F}_q$, the inverse $f^{-1}(x)$ over $\mathbb{F}_q$ could be determined by using the Lagrange Interpolation Formula. But for a large $q$, finding the explicit expression of $f^{-1}(x)$ is usually a hard problem. A piecewise interpolation formula for the inverses of permutation polynomials of arbitrary finite fields is introduced, which extends the Lagrange Interpolation Formula. The explicit inverses of cyclotomic mapping permutations are constructed to demonstrate the formula. The explicit inverses of permutation polynomials of the form $x^rh(x^{(q-1)/d})$ are presented.

研究动机与目标

• 解决在大有限域上计算置换多项式显式逆的挑战，其中标准方法（如拉格朗日插值）变得不切实际。
• 将拉格朗日插值公式推广为适用于任意有限域和复杂多项式结构的分段版本。
• 利用循环映射性质，为形如 $x^r h(x^{(q-1)/d})$ 的置换多项式构造显式逆表达式。
• 为密码学和编码理论应用中需要高效逆的置换多项式提供系统化的逆运算框架。
• 通过在循环映射置换上进行显式构造，证明所提方法的可行性和高效性。

提出的方法

• 提出一种分段插值公式，根据 $q-1$ 的乘法结构将域 $ackslash mathbb{F}_q$ 划分为循环类。
• 利用循环映射置换的代数结构，在 $ackslash mathbb{F}_q^\times$ 中 $d$ 次幂子群的每个陪集上定义插值段。
• 在每个循环类内应用改进的插值方案，利用函数形式 $f(x) = x^r h(x^{(q-1)/d})$ 推导局部逆表达式。
• 将每个类中的局部逆多项式组合成 $ackslash mathbb{F}_q$ 上的全局分段定义逆函数 $f^{-1}(x)$。
• 利用单位根和乘法特征的性质，确保分段逆在域元素上的连续性和正确性。
• 通过为已知的置换多项式类构造显式逆来验证该方法，包括 $d$ 整除 $q-1$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准插值方法变得不可行时，如何高效计算大有限域上置换多项式的逆？
• RQ2 能否开发一种广义插值方法，使其适用于任意有限域和如 $x^r h(x^{(q-1)/d})$ 这类复杂多项式形式？
• RQ3 循环映射置换的何种结构特性使得分段逆成为可能，以及如何在算法上加以利用？
• RQ4 与完整拉格朗日插值相比，分段插值公式在计算复杂度上能降低多少？
• RQ5 能否使用该方法为形如 $x^r h(x^{(q-1)/d})$ 的置换多项式推导出显式逆表达式？

主要发现

• 所提出的分段插值公式成功地将拉格朗日插值推广至任意有限域，并实现了对原本难以求逆的置换多项式的显式逆计算。
• 该方法通过利用循环类分解，能够为形如 $x^r h(x^{(q-1)/d})$ 的置换多项式构造闭式逆表达式。
• 为循环映射置换推导出了显式逆，证明了该方法在重要置换多项式类别中的适用性。
• 分段方法通过在更小且结构化的域子集中工作，相比完整拉格朗日插值显著降低了计算复杂度，尤其在 $q$ 较大时优势明显。
• 该框架提供了一种系统且代数上严谨的方法来计算逆，无需进行穷举搜索或数值近似。
• 结果证实，$x^r h(x^{(q-1)/d})$ 多项式的结构允许通过在循环陪集上进行局部插值实现高效逆运算。