[论文解读] Pinning of interfaces in random media

Nicolas Dirr, Patrick Dondl+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2009

Theoretical and Computational Physics参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文证明了在随机介质中，曲率驱动界面运动存在一个平稳的正上解，表明即使在黏性动力学下，钉扎和与速率无关的迟滞现象依然会出现。通过使用Delaunay曲面和拼接技术构造上解，本文建立了界面保持钉扎的有限临界力，解释了从微观黏性定律到宏观迟滞现象的涌现机制。

ABSTRACT

For a model for the propagation of a curvature sensitive interface in a time independent random medium, as well as for a linearized version which is commonly referred to as Quenched Edwards-Wilkinson equation, we prove existence of a stationary positive supersolution at non-vanishing applied load. This leads to the emergence of a hysteresis that does not vanish for slow loading, even though the local evolution law is viscous (in particular, the velocity of the interface in the model is linear in the driving force).

研究动机与目标

• 在黏性动力学下，建立随机介质中界面演化的平稳正上解的存在性。
• 证明在具有随机障碍物的黏性、曲率敏感界面模型中，与速率无关的迟滞现象可以出现。
• 解决在稀疏随机环境中传统方法失效时的解析钉扎难题。
• 弥合微观黏性动力学与相变或塑性中的宏观与速率无关行为之间的鸿沟。

提出的方法

• 利用具有常平均曲率的旋转对称Delaunay曲面，构造局部界面轮廓的上解。
• 采用拼接函数将局部上解与平坦区域连接，确保全局上解性质。
• 运用粘性解理论验证非线性平均曲率算子的上解条件。
• 通过尺度分析，使Delaunay曲面的径向导数与拼接函数的导数在界面处匹配。
• 对障碍物强度、分布和曲率施加条件，确保上解始终低于界面演化。
• 利用比较原理证明界面在临界力以下保持钉扎。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有黏性动力学的随机介质中，曲率驱动界面运动是否存在平稳上解？
• RQ2 当局部演化规律为黏性时，即使存在随机稀疏障碍物，钉扎和迟滞现象是否依然存在？
• RQ3 障碍物分布和强度需满足何种条件，才能确保上解的存在性？
• RQ4 该上解构造如何处理随机环境中平均曲率算子的非线性？
• RQ5 能否从微观黏性动力学严格推导出宏观与速率无关行为的涌现？

主要发现

• 在障碍物分布和强度满足适当条件时，随机介质中强制平均曲率流存在平稳正上解。
• 该上解通过Delaunay曲面与拼接函数构造，确保了全局有效性及粘性解性质。
• 即使局部动力学为黏性，解离钉扎所需的临界力仍为有限且严格为正。
• 由于钉扎机制的存在，迟滞现象在任意缓慢加载下依然持续，证实了宏观层面的与速率无关行为。
• 该构造在n=1的格点障碍物情况下依然有效，将结果推广至离散随机构型。
• 分析证实，通过钉扎机制，宏观与速率无关的动力学可从微观黏性定律中涌现。