[论文解读] PINNs for the Solution of the Hyperbolic Buckley-Leverett Problem with a Non-convex Flux Function

Waleed Diab, Mohammed Al Kobaisi|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用 7

一句话总结

本文提出一种物理信息神经网络（PINN）方法，用于求解具有非凸通量函数的双曲型Buckley-Leverett方程，将Oleinik熵条件直接嵌入残差损失中，无需人工粘性。结合使用Adam优化器与基于残差的自适应精炼（RAR），该方法实现了1×10⁻⁶的低L2损失和2×10⁻²的L2验证误差，准确捕捉了激波前缘，且无需额外正则化或损失加权。

ABSTRACT

The displacement of two immiscible fluids is a common problem in fluid flow in porous media. Such a problem can be posed as a partial differential equation (PDE) in what is commonly referred to as a Buckley-Leverett (B-L) problem. The B-L problem is a non-linear hyperbolic conservation law that is known to be notoriously difficult to solve using traditional numerical methods. Here, we address the forward hyperbolic B-L problem with a nonconvex flux function using physics-informed neural networks (PINNs). The contributions of this paper are twofold. First, we present a PINN approach to solve the hyperbolic B-L problem by embedding the Oleinik entropy condition into the neural network residual. We do not use a diffusion term (artificial viscosity) in the residual-loss, but we rely on the strong form of the PDE. Second, we use the Adam optimizer with residual-based adaptive refinement (RAR) algorithm to achieve an ultra-low loss without weighting. Our solution method can accurately capture the shock-front and produce an accurate overall solution. We report a L2 validation error of 2 x 10-2 and a L2 loss of 1x 10-6. The proposed method does not require any additional regularization or weighting of losses to obtain such accurate solution.

研究动机与目标

• 为解决使用物理信息神经网络求解具有非凸通量函数的双曲型Buckley-Leverett问题的挑战。
• 通过将Oleinik熵条件直接嵌入PINN框架，消除在残差损失中引入人工粘性或扩散项的需求。
• 在无需额外正则化或损失加权的情况下，实现对激波特性的高精度求解。
• 展示基于残差的自适应精炼（RAR）与Adam优化器在最小化双曲守恒律损失方面的有效性。

提出的方法

• PINN框架以强形式求解双曲型Buckley-Leverett PDE，不添加扩散项。
• 将Oleinik熵条件直接嵌入神经网络残差中，以确保物理一致性。
• 结合使用Adam优化器与基于残差的自适应精炼（RAR），动态调整训练权重以降低损失。
• 损失函数仅由PDE残差和熵条件定义，不包含额外加权或正则化。
• 通过在整个域内分布的配点，同时强制执行PDE和熵条件。
• 端到端训练解以最小化残差损失，同时保持激波前缘的锐利分辨率。

实验结果

研究问题

• RQ1 PINNs能否在不引入人工粘性的情况下准确求解具有非凸通量函数的双曲型Buckley-Leverett问题？
• RQ2 将Oleinik熵条件直接嵌入PINN残差中，在捕捉激波间断方面有多有效？
• RQ3 结合Adam优化器的基于残差的自适应精炼（RAR）能否在无需损失加权或正则化的情况下实现超低损失？
• RQ4 在此具有挑战性的双曲守恒律中，L2损失和验证误差可达到何种精度？

主要发现

• 该方法实现了1×10⁻⁶的L2损失，表明PDE强制执行的残差误差极低。
• L2验证误差为2×10⁻²，表明在未见测试点上具有高精度。
• 未引入人工粘性或数值扩散，即准确捕捉了激波前缘。
• 解在无需额外正则化或损失加权的情况下保持稳定且准确。
• 基于残差的自适应精炼（RAR）有效提升了收敛性并最小化了训练过程中的损失。
• PINN框架仅通过PDE的强形式和熵条件，成功求解了具有非凸通量的Buckley-Leverett问题。