[论文解读] Planar algebras in braided tensor categories

André Henriques, David Penneys+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文将琼斯的平面代数推广为在有 pivotal braided tensor category C 内部化的锚定平面代数。通过在平面辫子中引入编码张量顺序的锚定线，作者建立了 C 中锚定平面代数与配备自对偶生成元的 pivotal 模态张量范畴之间的等价关系，将经典平面代数的分类推广至更高范畴设定，并实现了完整的范畴等价。

ABSTRACT

We generalize Jones' planar algebras by internalising the notion to a pivotal braided tensor category $\mathcal{C}$. To formulate the notion, the planar tangles are now equipped with additional `anchor lines' which connect the inner circles to the outer circle. We call the resulting notion an anchored planar algebra. If we restrict to the case when $\mathcal{C}$ is the category of vector spaces, then we recover the usual notion of a planar algebra. Building on our previous work on categorified traces, we prove that there is an equivalence of categories between anchored planar algebras in $\mathcal{C}$ and pivotal module tensor categories over $\mathcal{C}$ equipped with a chosen self-dual generator. Even in the case of usual planar algebras, the precise formulation of this theorem, as an equivalence of categories, has not appeared in the literature. Using our theorem, we describe many examples of anchored planar algebras.

研究动机与目标

• 将琼斯的平面代数从向量空间推广至任意 pivotal braided tensor category C。
• 通过引入追踪张量因子顺序的锚定线，定义一种新结构——锚定平面代数。
• 建立 C 中锚定平面代数与配备自对偶生成元的 C 上 pivotal 模态张量范畴之间的范畴等价。
• 将经典平面代数的分类推广至完整范畴等价形式，此前文献中尚未提出此形式。
• 通过模态张量范畴与反之，系统地构造锚定平面代数的示例。

提出的方法

• 通过在内圆与外圆之间连接红色锚定线来内部化平面代数，定义锚定平面辫子，锚定线决定张量因子的顺序。
• 将锚定平面代数定义为从锚定平面操作算子到 pivotal braided tensor category C 的函子，将态射分配给辫子。
• 利用先前工作中提出的范畴化迹构造，将 C 上的模态张量范畴与锚定平面代数联系起来。
• 通过管状弦图演算与辫子 braid group 作用，从模态张量范畴构造到锚定平面代数的函子。
• 通过管状弦图演算证明，辫子到态射的赋值与 braid group 作用及同伦不变性相容。
• 在锚定平面代数范畴与配备自对偶生成元的 pivotal 模态张量范畴之间建立全忠实且本质满射的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将平面代数推广至 internalize 在 pivotal braided tensor category C 中，而非仅限于向量空间范畴？
• RQ2 在 C 上的模态张量范畴中，何种结构恰好对应于 C 中的锚定平面代数？
• RQ3 锚定平面代数在 C 中与 C 上某一特定类模态张量范畴之间是否存在范畴等价？
• RQ4 辫子中锚定线的存在如何影响态射的赋值与组合规则？
• RQ5 能否将通过 pivotal 范畴与自对偶生成元对平面代数的经典分类，推广至内部化设定下的完整范畴等价？

主要发现

• 锚定平面代数通过在平面辫子中引入锚定线以确定张量因子顺序而被定义，将标准平面代数推广至任意 pivotal braided tensor category C。
• 本文建立了 C 中锚定平面代数与配备自对偶生成元的 C 上 pivotal 模态张量范畴之间的范畴等价。
• 该等价通过从模态张量范畴到锚定平面代数的函子构造，利用管状弦图演算与范畴化迹实现，其逆构造通过从平面代数重建模态范畴完成。
• 态射到辫子的赋值与辫子 braid group 作用相容，确保在同伦下不变。
• 主要结果将经典平面代数的分类（通过 (D,X) 对）推广为完整范畴等价，此形式此前文献中尚未出现。
• 该框架允许通过模态张量范畴与反之系统地构造锚定平面代数的示例，包括通过管状弦图演算与 braid group 作用。