[论文解读] Planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles

Yongxin Lan, Yongtang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Limits and Structures in Graph Theory被引用 5

一句话总结

本文研究了平面三角剖分中路径与环的平面反Ramsey数，为 $k \geq 8$ 的路径 $P_k$ 建立了改进的下界，提升了 $k \geq 5$ 时环 $C_k$ 的现有下界，并通过边着色的结构分析与局部顶点颜色计数，推导出 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ 与 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$ 的新上界。

ABSTRACT

Motivated by anti-Ramsey numbers introduced by Erdős, Simonovits and Sós in 1975, we study the anti-Ramsey problem when host graphs are plane triangulations. Given a positive integer $n$ and a planar graph $H$, let $\mathcal{T}_n(H)$ be the family of all plane triangulations $T$ on $n$ vertices such that $T$ contains a subgraph isomorphic to $H$. The planar anti-Ramsey number of $H$, denoted $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$, is the maximum number of colors in an edge-coloring of a plane triangulation $T\in \mathcal{T}_n(H)$ such that $T$ contains no rainbow copy of $H$. Analogous to anti-Ramsey numbers and Turán numbers, planar anti-Ramsey numbers are closely related to planar Turán numbers, where the planar Turán number of $H$ is the maximum number of edges of a planar graph on $n$ vertices without containing $H$ as a subgraph. The study of $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$ (under the name of rainbow numbers) was initiated by Horňák, Jendrol$'$, Schiermeyer and Soták [J Graph Theory 78 (2015) 248--257]. In this paper we study planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles. We first establish lower bounds for $ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$ when $n\ge k\ge8$. We then improve the existing lower bound for $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$ when $k\geq 5$ and $n\geq k^2-k$. Finally, using the main ideas in the above-mentioned paper, we obtain upper bounds for $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_6)$ when $n\ge8$ and $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_7)$ when $n\geq 13$, respectively.

研究动机与目标

• 研究平面三角剖分中路径 $P_k$ 与环 $C_k$ 的平面反Ramsey数 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$。
• 改进当 $n \geq k \geq 8$ 时 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$ 的现有下界。
• 当 $k \geq 5$ 且 $n \geq k^2 - k$ 时，优化 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ 的下界。
• 当 $n \geq 8$ 时建立 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ 的新上界，当 $n \geq 13$ 时建立 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$ 的新上界。
• 通过三角剖分的结构与着色约束，将平面反Ramsey数与平面Turán数联系起来。

提出的方法

• 将 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$ 定义为：在 $n$ 个顶点的平面三角剖分的边着色中，避免出现 $H$ 的彩虹子图时，所使用的最大颜色数。
• 利用关系式 $1 + ex_{{}_{\mathcal{P}}}(n, \mathcal{H}) \leq ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H) \leq ex_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$，其中 $\mathcal{H} = \{H-e \mid e \in E(H)\}$，来界定反Ramsey数。
• 通过避免出现彩虹 $C_6$ 或 $C_7$ 的轮图子图 $W_d$ 中的最大颜色数，分析度数 $d \geq 5$ 或 $d \geq 6$ 的顶点周围的局部颜色分布。
• 通过双计数 $4m \leq \sum_{v \in V(T)} |c(v)|$，其中 $|c(v)|$ 表示与顶点 $v$ 关联的不同颜色数，推导出全局界。
• 基于顶点度数与颜色计数的不等式，将 $m$（总颜色数）用 $n$ 表示，以界定其范围。
• 利用已知的平面Turán数结果，并通过将图表示在边着色框架下的方法，进一步收紧界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \geq k \geq 8$ 时，$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$ 的最佳可能下界是什么？
• RQ2 当 $k \geq 5$ 且 $n \geq k^2 - k$ 时，如何改进 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ 的现有下界？
• RQ3 当 $n \geq 8$ 时，可以为 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ 建立哪些上界？
• RQ4 当 $n \geq 13$ 时，可以为 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$ 推导出哪些上界？
• RQ5 环的平面反Ramsey数如何与它们的平面Turán数及局部着色约束相关联？

主要发现

• 本文为 $n \geq k \geq 8$ 时的 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$ 建立了新的下界，优于以往结果。
• 对于环，作者在 $k \geq 5$ 且 $n \geq k^2 - k$ 时，改进了 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ 的现有下界。
• 证明了当所有 $n \geq 8$ 时，$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6) \leq 17(n-2)/6$ 的上界。
• 为所有 $n \geq 13$ 建立了 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7) \leq (59n - 113)/20$ 的上界。
• 作者表明 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ 的上界被 $17(n-2)/6$ 所限制，比早期估计更紧。
• 结果通过基于顶点的颜色计数与轮图及三角剖分的结构约束推导得出，对每个顶点的颜色集给出了显式的与度数相关的界。