[论文解读] Planar arcs.

Simeon Ball, Michel Lavrauw|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新的无坐标方法，用于研究奇特征域上有限射影平面上的平面弧，使用了缩放版本的塞格雷切线引理。当 $ q $ 为奇数时，证明了大小至少为 $ q - \frac{1}{2}\big(\frac{1}{2}\big) $ 的弧必包含于一条圆锥曲线上，通过代数曲线交点技术改进了先前的界限，且无需依赖哈塞-韦伊或施托尔夫-沃洛赫定理。

ABSTRACT

Let $p$ denote the characteristic of ${\mathbb F}_q$, the finite field with $q$ elements. We prove that if $q$ is odd then an arc of size $q+2-t$ in the projective plane over ${\mathbb F}_q$, which is not contained in a conic, is contained in the intersection of two curves, which do not share a common component, and have degree at most $t+p^{\lfloor \log_p t floor}$, provided a certain technical condition on $t$ is satisfied. This implies that if $q$ is odd then an arc of size at least $q-\sqrt{q}+\sqrt{q}/p+3$ is contained in a conic if $q$ is square and an arc of size at least $q-\sqrt{q}+\frac{7}{2}$ is contained in a conic if $q$ is prime. This is of particular interest in the case that $q$ is an odd square, since then there are examples of arcs, not contained in a conic, of size $q-\sqrt{q}+1$, and it has long been conjectured that if $q eq 9$ is an odd square then any larger arc is contained in a conic. These bounds improve on previously known bounds when $q$ is an odd square and for primes less than $1783$. The previously known bounds, obtained by Segre \cite{Segre1967}, Hirschfeld and Korchm\'aros \cite{HK1996} \cite{HK1998}, and Voloch \cite{Voloch1990b} \cite{Voloch1991}, rely on results on the number of points on algebraic curves over finite fields, in particular the Hasse-Weil theorem and the St\ohr-Voloch theorem, and are based on Segre's idea to associate an algebraic curve in the dual plane containing the tangents to an arc. In this paper we do not rely on such theorems, but use a new approach starting from a scaled coordinate-free version of Segre's lemma of tangents. Arcs in the projective plane over ${\mathbb F}_q$ of size $q$ and $q+1$, $q$ odd, were classified by Segre \cite{Segre1955b} in 1955. In this article, we complete the classification of arcs of size $q-1$ and $q-2$.

研究动机与目标

• 对奇数 $ q $ 的 $ \mathbb{F}_q $ 上射影平面上大小为 $ q-1 $ 和 $ q-2 $ 的弧进行分类。
• 建立弧大小的改进下界，以确定在何种大小以上弧必须位于一条圆锥曲线上，尤其针对奇数平方和素数。
• 提供一种新的弧包含于圆锥曲线的证明技术，避免依赖哈塞-韦伊和施托尔夫-沃洛赫定理。
• 在塞格雷关于大小为 $ q $ 和 $ q+1 $ 的弧的早期工作基础上，完成对大小为 $ q-1 $ 和 $ q-2 $ 的弧的分类。

提出的方法

• 使用塞格雷切线引理的缩放无坐标版本作为基础工具。
• 该方法分析了包含弧的两个有界次数代数曲线的交点。
• 在对 $ t $ 的一个技术性条件下，证明了若大小为 $ q+2-t $ 的弧不位于一条圆锥曲线上，则其必位于两个次数至多为 $ t + p^{\lfloor \log_p t \rfloor} $ 的曲线的交集中。
• 该方法避免了使用关于曲线上点数的经典定理，如哈塞-韦伊和施托尔夫-沃洛赫定理。
• 证明依赖于代数曲线及其在 $ \mathbb{F}_q $ 上射影平面上的分量的结构性质。
• 该构造确保非圆锥曲线弧被限制于具有可控次数的曲线交集中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ 中，$ q $ 为奇数时，必须包含于一条圆锥曲线的弧的最小大小是多少？
• RQ2 能否在不依赖哈塞-韦伊或施托尔夫-沃洛赫等点计数定理的情况下，改进关于弧包含于圆锥曲线中的经典界限？
• RQ3 在 $ \mathbb{F}_q $ 上的射影平面上，大小为 $ q-1 $ 和 $ q-2 $ 的弧的结构是什么，$ q $ 为奇数？
• RQ4 塞格雷切线引理的无坐标重述如何促成弧几何的新结果？
• RQ5 当 $ q $ 为奇数平方时，非圆锥曲线弧不再存在的精确临界大小是什么？

主要发现

• 当 $ q $ 为素数时，在 $ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ 中大小至少为 $ q - \sqrt{q} + \frac{7}{2} $ 的弧必位于一条圆锥曲线上。
• 当 $ q $ 为奇数平方时，在 $ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ 中大小至少为 $ q - \sqrt{q} + \frac{\sqrt{q}}{p} + 3 $ 的弧必位于一条圆锥曲线上。
• 该界限对所有奇数平方以及小于 1783 的素数均优于先前结果。
• 本文完成了对 $ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ 中大小为 $ q-1 $ 和 $ q-2 $ 的弧的分类，$ q $ 为奇数。
• 该方法避免了对哈塞-韦伊和施托尔夫-沃洛赫定理的依赖，为弧包含于圆锥曲线提供了新的几何方法。
• 结果支持一个长期存在的猜想：当 $ q \ne 9 $ 且 $ q $ 为奇数平方时，任何大于 $ q - \sqrt{q} + 1 $ 的弧必位于一条圆锥曲线上。