[论文解读] Planar kinematic invariants, matroid subdivisions and generalized Feynman diagrams

Nick Early|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用 16

一句话总结

本文引入了广义运动学不变量 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ 中的平面基，通过作用于拟阵剖分的边界算子，实现了极点相容性的组合准则。该方法在 Mathematica 中实现，用于计算非负热带 Grassmannian 中的最大锥，得到 $\mathrm{Trop}_+(3,8)$ 的结果为 13,612 个，$\mathrm{Trop}_+(3,9)$ 的结果为 346,710 个，$\mathrm{Trop}_+(4,8)$ 的结果为 90,608 个，与先前结果一致，并实现了按分母次数枚举广义费曼图。

ABSTRACT

In recent work of Cachazo, Guevara, Mizera and the author, a generalization of the biadjoint scattering amplitude $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ was introduced as an integral over the moduli space of $n$ points in $\mathbb{CP}^{k-1}$, with value a sum of certain rational functions on the kinematic space $\mathcal{K}_{k,n}$. It was shown there for $m^{(3)}(\mathbb{I}_6,\mathbb{I}_6)$ and later by Cachazo and Rojas that collections of poles appearing in $m^{(3)}(\mathbb{I}_7,\mathbb{I}_7)$ are compatible exactly when they are dual to collections of rays which generate the maximal faces of a polyhedral complex known as the (nonnegative) tropical Grassmannian. In this note, we derive a remarkable planar basis for the space of generalized kinematic invariants which coincides in the case $k=2$ with usual standard planar multi-particle basis for the kinematic space. We implement in Mathematica the action on formal linear combinations of planar matroid subdivisions of a boundary operator which, together with the planar basis, determines compatibility for any given poles appearing in the expansion of $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$, by computing a certain combinatorial non-crossing condition on the second hypersimplicial faces $Δ_{2,n-(k-2)}$ of $Δ_{k,n}$. The algorithms are implemented in an accompanying Mathematica notebook and are evaluated on existing tables of rays, in the form of tropical Plucker vectors, to tabulate the finest planar subdivisions of $Δ_{3,8},Δ_{3,9}$ and $ Δ_{4,8}$, or equivalently the set of maximal cones for the corresponding nonnegative tropical Grassmannians.

研究动机与目标

• 开发运动空间 $\mathcal{K}_{k,n}$ 上线性泛函的平面基，将 $k=2$ 时的标准平面基推广至更高 $k$。
• 利用拟阵剖分上的边界算子，为广义双伴随振幅 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ 中的极点相容性提供组合准则。
• 在 Mathematica 中实现一个算法，通过检查第二高维单形面 $\Delta_{2,n-(k-2)}$ 上的 Steinmann 关系，判断极点的相容性。
• 枚举 $\Delta_{3,8}, \Delta_{3,9}, \Delta_{4,8}$ 的最细平面剖分，对应于非负热带 Grassmannian $\mathrm{Trop}_+(3,8)$、$\mathrm{Trop}_+(3,9)$ 和 $\mathrm{Trop}_+(4,8)$ 中的最大锥。

提出的方法

• 使用非冻结的 $k$-元子集 $J \subset \{1,\dots,n\}$（非循环区间）定义 $\mathcal{K}_{k,n}$ 上的平面基 $\eta_J$。
• 将每个热带 Plücker 向量表示为 $\mathcal{K}_{k,n}$ 上的线性泛函，然后将其展开为平面基 $\eta_J$ 的形式。
• 将展开式中的每个 $\eta_J$ 替换为其曲率 $\beta_J$，形成曲率泛函。
• 对曲率泛函应用边界算子 $\sum_{L \in \binom{[n]}{n-(k-2)}} \partial_{(L,1)}$，将其限制在第二高维单形面 $\partial_L(\Delta_{k,n}) \simeq \Delta_{2,n-(k-2)}$ 上。
• 检查每对极点在每个此类面上是否满足四重 Steinmann 关系。
• 利用所得相容性条件，枚举最大相容的平面基元素集合，对应于非负热带 Grassmannian 中的最大锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义双伴随振幅的背景下，如何将 $k=2$ 时的平面基推广至更高 $k$ 的运动学不变量？
• RQ2 对于 $k \geq 3$ 的 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$，何种组合准则可确保极点之间的相容性？
• RQ3 能否利用平面基和边界算子系统地枚举非负热带 Grassmannian $\mathrm{Trop}_+(k,n)$ 的最大锥？
• RQ4 按分母次数参数化的广义费曼图数量在不同 $k$ 和 $n$ 下如何分布？
• RQ5 平面基与相容性检查的结果在多大程度上重现了已知的 $\mathrm{Trop}_+(k,n)$ 中最大锥的计数？

主要发现

• $\mathcal{K}_{k,n}$ 上的平面基 $\eta_J$ 由非冻结的 $k$-元子集 $J \subset \{1,\dots,n\}$ 构造而成，是对 $k=2$ 时标准平面基的推广。
• $\mathrm{Trop}_+(3,8)$ 中最大锥的数量为 13,612 个，与 CachazoPlanarCollections 中的计数一致。
• $\mathrm{Trop}_+(3,9)$ 中最大锥的数量为 346,710 个，使用 Yong Zhang 共享的数据集中的 1,140 条射线计算得出。
• $\mathrm{Trop}_+(4,8)$ 中最大锥的数量为 90,608 个，与 CachazoPlanarCollections 的先前结果一致。
• 对于 $m^{(3)}(\mathbb{I}_8,\mathbb{I}_8)$，按分母次数 $d$ 分布的广义费曼图数量为：$d=8$ 时 9,672 个，$d=9$ 时 1,696 个，$d=10$ 时 1,092 个，依此类推，直至 $d=17$ 时为 8 个。
• 该算法成功重现了已知的 $\mathrm{Trop}_+(k,n)$ 中最大锥的计数，验证了基于第二高维单形面上 Steinmann 关系的相容性准则。