[论文解读] Planar open book decompositions and contact structures

John B. Etnyre|ArXiv.org|Apr 14, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 27

一句话总结

本文证明，尽管闭3-流形上的所有过扭接触结构都由平面开口书分解支持，但并非所有接触结构都是如此。它证明了由平面开口书支持的接触流形的辛填充必须具有平凡的正部分和退化第二贝蒂数，若边界为同调球面，则其交形式可对角化，从而为某些接触结构（包括庞加莱同调球面上的紧密接触结构及部分辛可填充的接触结构）提供了强有力的平面支持障碍。

ABSTRACT

In this note we observe that while all overtwisted contact structures on compact 3--manifolds are supported by planar open book decompositions, not all contact structures are. This has relevance to invariants of contact structures and also to the Weinstein conjecture via work of Abbas Cieliebak and Hofer.

研究动机与目标

• 确定所有闭3-流形上的接触结构是否都能由平面开口书分解支持。
• 识别接触结构不能由平面开口书支持的几何与拓扑障碍。
• 研究平面开口书支持对Weinstein猜想和接触不变量的影响。
• 提供一种辛填充障碍，以区分不被平面开口书支持的接触结构。

提出的方法

• 利用Giroux关于接触结构与开口书分解之间的对应关系，分析支持性开口书的单值性和拓扑结构。
• 通过在平面开口书的绑定上附加2-胞胎来构造辛填充，同时保持辛结构。
• 应用McDuff关于纤维化为辛球面的辛4-流形的定理，证明闭辛流形是某规则曲面的吹胀。
• 通过构造自交数为零的嵌入球面并利用其同调类分析填充的交形式。
• 对辛填充的多个边界分量进行封口，若正贝蒂数非零则导出矛盾。
• 利用$d_3$不变量在接触连通和与Murasugi和下的可加性，构造任意过扭接触结构的平面开口书。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有闭3-流形上的接触结构是否都能由平面开口书分解支持？
• RQ2 哪些辛不变量会阻碍接触结构由平面开口书支持？
• RQ3 能否通过平面开口书分解证明所有接触结构的Weinstein猜想？
• RQ4 由平面开口书支持的接触流形的辛填充有哪些拓扑约束？
• RQ5 支持性开口书的最小亏格能否被界定，且亏格为1是否足以支持所有接触结构？

主要发现

• 所有闭3-流形上的过扭接触结构都由平面开口书分解支持。
• 若接触3-流形$(M,\tau)$由平面开口书支持且 admits 辛填充$X$，则$b_2^+(X) = b_2^0(X) = 0$。
• 若边界$M$为整同调球面，则$X$上的交形式可对角化。
• 由$-E_8$管状图构造的庞加莱同调球面上的接触结构不能被任何平面开口书支持，因其交形式不可对角化。
• 在$S^3$中通过Legendrian手术得到的接触结构，若其某分量的Thurston-Bennequin不变量$> 0$，则不能被平面开口书支持。
• Weinstein猜想对所有由平面开口书支持的接触结构成立，但本文结果表明，存在某些接触结构（如庞加莱球面上的）仍无法通过此方法证明该猜想。