[论文解读] Planar Tur\'an number of the 6-cycle

Debarun Ghosh, Ervin Győri+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了平面图中关于 $C_6$ 的图论极值数的精确上界 $rac{5}{2}n - 7$，优于此前的 $rac{18(n-2)}{7}$。作者通过分析最小度至少为3的2-连通 $C_6$-自由平面图的结构，证明了该界，并构造出在无穷多个满足 $n \equiv 2 \pmod{5}$ 的 $n$ 下达到等号的极值图，从而验证了该界的紧致性。

ABSTRACT

Let ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,T,H)$ denote the maximum number of copies of $T$ in an $n$-vertex planar graph which does not contain $H$ as a subgraph. When $T=K_2$, ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,T,H)$ is the well studied function, the planar Tur\\'an number of $H$, denoted by ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,H)$. The topic of extremal planar graphs was initiated by Dowden (2016). He obtained sharp upper bound for both ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_4)$ and ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_5)$. Later on, Y. Lan, et al. continued this topic and proved that ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_6)\\leq \\frac{18(n-2)}{7}$. In this paper, we give a sharp upper bound ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_6) \\leq \\frac{5}{2}n-7$, for all $n\\geq 18$, which improves Lan's result. We also pose a conjecture on ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_k)$, for $k\\geq 7$.

研究动机与目标

• 改进关于6-圈 $C_6$ 的平面图论极值数 $ \mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_6)$ 的已知上界。
• 建立一个可通过显式极值图构造在无穷多个 $n$ 下达到的紧致上界。
• 将极值平面图论的框架拓展至小圈之外，特别是 $C_4$、$C_5$ 和 $C_6$ 之外的图。
• 提出一个关于更长圈 $C_\ell$（其中 $\ell \geq 7$）的平面图论极值数的一般猜想。

提出的方法

• 通过块分解与基于度数的不等式，证明定理2：对于满足 $\delta(G) \geq 3$ 且 $n \geq 6$ 的2-连通 $C_6$-自由平面图 $G$，有 $e(G) \leq \frac{5}{2}n - 7$。
• 利用欧拉公式及面与顶点的度数约束，分析一个基础图 $G_0$，其所有面长度为7，且顶点度数为2或3。
• 通过将 $G_0$ 的每条边进行细分，并在距离为2的顶点之间添加弦，构造一个中间图 $G'$，以保持平面性并控制圈结构。
• 在图的块上应用类似放电的论证方法，以界定 $5v(G) - 2e(G)$，证明当 $n \geq 18$ 时其值至少为14，从而推出 $e(G) \leq \frac{5}{2}n - 7$。
• 通过构造一族满足 $v(G) = \frac{18n+14}{5}$ 且 $e(G) = 9n$ 的图 $G$，实现等号成立，其中 $n \equiv 2 \pmod{5}$，从而构造出达到边界的极值图。
• 将该构造方法推广，基于 $\ell$-正则面结构与顶点度数控制，提出 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_\ell)$（$\ell \geq 7$）的一般公式猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在避免作为子图出现6-圈的 $n$-顶点平面图中，边数的最佳可能上界是什么？
• RQ2 能否改进已知的上界 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_6) \leq \frac{18(n-2)}{7}$？若能，改进幅度如何？
• RQ3 在哪些 $n$ 值下，新上界 $\frac{5}{2}n - 7$ 可以取等？此类极值图能否显式构造？
• RQ4 是否存在关于更长圈 $C_\ell$（$\ell \geq 7$）的平面图论极值数的一般规律或公式？

主要发现

• 本文建立了精确上界：对所有 $n \geq 18$，有 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_6) \leq \frac{5}{2}n - 7$。
• 该上界优于此前由 Lan 等人建立的最优已知界 $\frac{18(n-2)}{7}$。
• 当 $n \equiv 2 \pmod{5}$ 时，存在 $C_6$-自由平面图，其顶点数 $v(G) = \frac{18n+14}{5}$，边数 $e(G) = 9n$，且在上界 $\frac{5}{2}n - 7$ 下达到等号。
• 极值图通过从一个基础图 $G_0$ 出发构造，该图所有面长度为7，顶点度数为2或3，再经边细分与弦插入得到。
• 证明依赖于对图块结构的分析，并证明当 $n \geq 18$ 时，有 $5v(G) - 2e(G) \geq 14$，从而推出边数上界。
• 作者猜想：对于 $\ell \geq 7$，当 $n$ 足够大时，有 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_\ell) \leq \frac{3(\ell-1)}{\ell}n - \frac{6(\ell+1)}{\ell}$，该猜想基于推广的构造方法。