[论文解读] Plane Hamiltonian Cycles in Convex Drawings

Helena Bergold, Stefan Felsner+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Structural Analysis and Optimization被引用 1

一句话总结

本文证明了 Rafla 关于完全图 $K_n$ 的凸绘制中存在平面哈密顿环的猜想，表明每个凸绘制均包含一个平面哈密顿环，是哈密顿连通的（任意两点间存在平面哈密顿路径），且是泛圈的（对所有 $3 \leq k \leq n$ 均包含一个平面 $k$-环）。证明通过一种贪心算法实现，利用凸绘制的结构特性，包括星形交叉边与凸侧选择，时间复杂度为 $O(n^2)$。

ABSTRACT

A conjecture by Rafla from 1988 asserts that every simple drawing of the complete graph $K_n$ admits a plane Hamiltonian cycle. It turned out that already the existence of much simpler non-crossing substructures in such drawings is hard to prove. Recent progress was made by Aichholzer et al. and by Suk and Zeng who proved the existence of a plane path of length $Ω(\log n / \log \log n)$ and of a plane matching of size $Ω(n^{1/2})$ in every simple drawing of $K_n$. Instead of studying simpler substructures, we prove Rafla's conjecture for the subclass of convex drawings, the most general class in the convexity hierarchy introduced by Arroyo et al. Moreover, we show that every convex drawing of $K_n$ contains a plane Hamiltonian path between each pair of vertices (Hamiltonian connectivity) and a plane $k$-cycle for each $3 \leq k \leq n$ (pancyclicity), and present further results on maximal plane subdrawings.

研究动机与目标

• 通过聚焦于凸绘制这一子类，解决 Rafla 关于每个 $K_n$ 的简单绘制均包含平面哈密顿环的猜想。
• 在凸绘制中建立更强的结构性质，包括哈密顿连通性与泛圈性。
• 提供一种构造性算法，用于在凸绘制中以多项式时间复杂度构建平面哈密顿环。
• 证明凸绘制（作为几何绘制与 $h$-凸绘制的推广）支持丰富的平面子结构，而这些结构在一般简单绘制中并不保证存在。

提出的方法

• 通过凸性层级定义凸绘制：若三角形的一条边满足其所有端点均位于该边上的边完全位于该三角形内部，则称该边为凸边；若每个三角形均有一条凸边，则该绘制为凸绘制。
• 利用星形交叉边的概念及以顶点 $v^\star$ 为中心的星形结构，指导路径的构建。
• 通过迭代添加避免星形交叉的优质边，从一个顶点出发，逐步向 $v^\star$ 延展，形成哈密顿路径，再通过星形边完成环的闭合。
• 预先处理绘制过程，耗时 $O(n^2)$，以识别劣质边并计算关键值 $l(r)$、$w^L_i$ 与 $w^R_i$，从而提升路径构建效率。
• 应用贪心遍历策略，维持一条避免星形交叉边的路径，并通过两条星形边 $\{n-1, v^\star\}$ 与 $\{v^\star, v_1\}$ 闭合环。
• 通过不变量证明正确性：在每一步中，当前路径均避免星形交叉边，且可扩展至包含所有顶点，从而确保最终形成的环是平面且哈密顿的。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $K_n$ 的凸绘制是否如 Rafla 对一般简单绘制所猜想的那样，包含一个平面哈密顿环？
• RQ2 每个 $K_n$ 的凸绘制是否都是哈密顿连通的，即任意两点间是否存在一条平面哈密顿路径？
• RQ3 每个 $K_n$ 的凸绘制是否都包含一个平面 $k$-环（对所有 $k$ 从 3 到 $n$），即是否为泛圈的？
• RQ4 能否设计一种构造性算法，在多项式时间内构建凸绘制中的平面哈密顿环？
• RQ5 凸绘制的哪些结构特性使得此类丰富的平面子结构存在？它们与一般简单绘制有何不同？

主要发现

• 每个 $K_n$ 的凸绘制均包含一个平面哈密顿环，证实了 Rafla 对该子类的猜想。
• 每个 $K_n$ 的凸绘制都是哈密顿连通的：对任意两个顶点，均存在一条连接它们的平面哈密顿路径。
• 每个 $K_n$ 的凸绘制都是泛圈的：对所有 $k$ 从 3 到 $n$，均包含一个平面 $k$-环。
• 一种多项式时间算法可在 $O(n^2)$ 时间内构建平面哈密顿环，通过预处理识别劣质边与关键值 $l(r)$。
• 该算法确保添加至路径的所有边均为非星形交叉边，且通过两条星形边闭合环，从而保持平面性。
• 上述结果无法推广至一般简单绘制；反例如 $K_5$ 的扭曲绘制表明，在非凸设置下此类子结构可能不存在。