[论文解读] Plane wave stability of the split-step Fourier method for the nonlinear Schr\\"odinger equation

Erwan Faou, Ludwig J. Gauckler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Nonlinear Photonic Systems参考文献 29被引用 27

一句话总结

本文在CFL条件下建立了非线性薛定谔方程分裂步傅里叶方法的长时间轨道稳定性，证明了数值解在长时间范围内继承了平面波解的轨道稳定性。分析结合哈密顿约化、调制傅里叶展开以及非共振条件，即使在系统频率完全共振的情况下也验证了稳定性。

ABSTRACT

Plane wave solutions to the cubic nonlinear Schr\\"odinger equation on a torus have recently been shown to behave orbitally stable. Under generic perturbations of the initial data that are small in a high-order Sobolev norm, plane waves are stable over long times that extend to arbitrary negative powers of the smallness parameter. The present paper studies the question as to whether numerical discretizations by the split-step Fourier method inherit such a generic long-time stability property. This can indeed be shown under a condition of linear stability and a non-resonance condition. They can both be verified if the time step-size is restricted by a CFL condition in the case of a constant plane wave. The proof first uses a Hamiltonian reduction and transformation and then modulated Fourier expansions in time. It provides detailed insight into the structure of the numerical solution.

研究动机与目标

• 确定分裂步傅里叶方法是否继承了非线性薛定谔方程中平面波解的长时间轨道稳定性。
• 将先前的线性稳定性分析扩展至长时间行为，特别是在完全共振存在的情况下。
• 建立数值解在任意负幂次扰动大小下仍保持与平面波轨道接近的条件。
• 验证在常数平面波条件下，时间步长满足CFL条件时，稳定性性质依然成立。

提出的方法

• 应用哈密顿约化与变换以消除主要傅里叶模，将系统简化为初值较小的形式。
• 在时间上使用调制傅里叶展开分析变换后系统的长时间行为。
• 验证变换后出现的修正频率的非共振条件，这对长时间稳定性至关重要。
• 对时间步长施加CFL条件，以确保线性稳定性，并满足常数平面波情况下的非共振条件。
• 分析非共振条件成立的参数集的勒贝格测度，表明在小扰动下该测度较大。
• 通过频率差值和扰动项的估计，控制长时间内数值误差的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂步傅里叶方法是否保持了非线性薛定谔方程中平面波解的长时间轨道稳定性？
• RQ2 在高阶Sobolev范数下扰动较小的通用扰动下，该数值方法能否保持稳定性？
• RQ3 在时间步长和初始数据满足何种条件下，该方法在完全共振下仍表现出长时间稳定性？
• RQ4 变换后系统中的修正频率如何满足稳定性所需的非共振条件？
• RQ5 参数集(h, ρ)的测度是多少，使得数值解在长时间内保持稳定？

主要发现

• 在常数平面波的时间步长满足CFL条件时，分裂步傅里叶方法继承了平面波解的长时间轨道稳定性。
• 修正频率的非共振条件在具有大勒贝格测度的参数集中成立，确保了大多数h和ρ选择下的稳定性。
• 该证明表明，数值解在时间延伸至扰动大小任意负幂次时，仍保持与平面波轨道的接近性。
• 对于常数平面波（ℓ=0），在CFL条件下主稳定性结果的假设成立，非共振条件通过频率估计和调制傅里叶分析得以验证。
• 该方法对高阶Sobolev范数下的初始扰动具有鲁棒性，覆盖了比先前结果更广泛的初始数据类别，后者要求小扰动。
• 稳定参数集的测度满足 |P(γ)| ≥ ρ₀h₀ - Ch₀γ¹/(²√α(N+2))，表明稳定性在大多数参数选择下成立。