[论文解读] Playing Tennis without Envy

Josué Ortega|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文研究了在朋友之间根据可用性分配双人网球比赛的算法的公平性与效率，表明当玩家可用性不同时，无法同时实现高效与强嫉妒-free（strongly envy-free）的分配。研究证明，对于任何每场需要 q ≥ 2 名玩家的运动，都存在问题实例，使得没有任何解能同时满足高效性与强嫉妒-free性，从而挑战了常用分配启发式方法的公平性。

ABSTRACT

A group of friends organize their tennis games by submitting each their availability over the weekdays. They want to obtain an assignment such that: each game must be a double tennis match, i.e. requires four people, and nobody plays in a day he is unavailable. Can we construct assignments that will always produce efficient, fair, and envy-free outcomes? The answer is no, and extends to any sport that requires any group size.

研究动机与目标

• 分析当玩家具有不同可用性日程时，能否构建既高效又公平的网球比赛分配方案。
• 在群体体育赛事调度背景下，定义并形式化强嫉妒-free性，即更灵活的玩家不应获得比不那么灵活的玩家更少的比赛场次。
• 研究是否存在一种分配方案，既能实现高效性（最大化总比赛场次），又能实现公平性（leximin-优化），同时避免更灵活玩家产生嫉妒。
• 将不可能性结果推广至所有 q 名玩家参与的运动（q ≥ 2）。
• 挑战一种常见假设：即常用的启发式算法（如最大化每位玩家的比赛场次）能产生真正公平的结果。

提出的方法

• 将网球调度问题形式化为一个二值矩阵 A，其中若玩家 i 在第 k 天可用，则 a_ik = 1。
• 通过移除每天可用玩家少于 4 人的天数，以及在所有天数中可用性为零的玩家，将问题简化为不可约形式。
• 将解定义为一个二值矩阵 X，满足：(1) 若 a_ik = 0，则 x_ik = 0（可用性约束）；(2) 每天 x_ik 的总和必须能被 4 整除（分组规模约束）。
• 引入三种解的性质：高效性（帕累托最优性）、公平性（基于比赛场次的 leximin-最优性）以及强嫉妒-free性（更可用的玩家获得的比赛场次不少于更少可用的玩家）。
• 构建了一个包含 11 名玩家和 5 天的反例，其中 4 名高度可用的玩家（a–d）每人必须打 2 场比赛，而 7 名可用性较低的玩家（e–k）必须在 3 天内共享 5 场比赛，导致至少一人仅能打 1 场比赛，尽管其有 3 次可用机会。
• 通过反证法证明，在此类配置中，至少有一名可用性较低的玩家会对可用性更高的玩家产生嫉妒，从而违反强嫉妒-free性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在异质玩家可用性的双人网球调度问题中，是否存在一种分配方案，使其既高效又强嫉妒-free？
• RQ2 是否可以设计一种调度算法，确保更灵活的玩家在与不那么灵活的玩家比较时从不处于劣势，同时最大化总比赛场次？
• RQ3 强嫉妒-free性不可能性的结果是否可推广至其他固定分组规模（q ≥ 2）的运动？
• RQ4 在现实调度场景中，常见的启发式方法（如最大化每位玩家的比赛场次）与公平性标准（如 leximin 最优性）相比如何？
• RQ5 在群体调度问题中，存在哪些结构性约束，导致效率与强嫉妒-free性无法同时实现？

主要发现

• 存在一些网球调度问题，其解无法同时满足高效性与强嫉妒-free性，表明高效性与强公平性之间存在根本性不相容。
• 在构造的反例中（表 2），4 名玩家每人有 2 天可用，必须各打 2 场比赛；而 7 名玩家每人有 3 天可用，必须在 3 天内共享 5 场比赛，导致至少一人仅能打 1 场比赛。
• 仅打 1 场比赛的玩家（有 3 次可用机会）对仅拥有 2 次可用机会却打了 2 场比赛的玩家产生嫉妒，违反了强嫉妒-free性。
• 该不可能性结果可推广至任意 q 名玩家参与的运动（q ≥ 2），即在所有情况下，均无法同时实现高效性与强嫉妒-free性。
• 尽管 Maher（2016）提出的算法在实践中能产生高效且公平的结果，但其无法确保强嫉妒-free性，如 George StC 尽管有 4 天可用，却仅被分配到 1 场比赛所证明。
• 本研究表明，玩家可能有理性动机虚报可用性以获取更多比赛机会，从而破坏系统公平性的可信度。