[论文解读] Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials

Philippe Charron, Bernard Helffer+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文将Pleijel定理推广至$ mathbb{R}^d$中具有径向势的Schrödinger算子，证明了节点域数量与特征值指标之比的上极限被Pleijel常数$ gamma(d)$所控制，无论径向势在无穷远处趋于$+\infty$还是趋于零。该结果依赖于Weyl渐近公式以及适用于径向情形的Faber-Krahn型不等式。

ABSTRACT

In 1956 $Å$. Pleijel gave his celebrated theorem showing that the inequality in Courant's theorem on the number of nodal domains is strict for large eigenvalues of the Laplacian. This was a consequence of a stronger result giving an asymptotic upper bound for the number of nodal domains of the eigenfunctions as the eigenvalues tend to $+\infty$. A similar question occurs naturally for Schr"\odinger operators. The first significant result has been obtained recently by the first author for the harmonic oscillator. The purpose of this paper is to consider more general potentials which are radial. We will analyze the case when the potential tends to $+\infty$ and the case when the potential is negative and tends to zero, where the considered eigenfucntion are associated to the eigenvalues below the essential spectrum.

研究动机与目标

• 将原始针对有界区域中Dirichlet拉普拉斯算子的Pleijel定理推广至$ mathbb{R}^d$中具有径向势的Schrödinger算子。
• 分析特征值低于连续谱时，相关特征函数节点域数量的渐近行为。
• 建立节点域计数相对于特征值指标的上极限始终被Pleijel常数$ gamma(d)$所控制，且与径向势的具体形式无关。
• 处理两种不同情形：势在无穷远处趋于$+\infty$与势趋于零，均在较弱的正则性和单调性条件下进行。

提出的方法

• 将Weyl渐近公式（用于低于$\lambda$的特征值数量$N(\lambda)$）适配至具有势$V(x) = v(|x|)$的径向Schrödinger算子。
• 基于$v(r)$的径向行为，将$ mathbb{R}^d$划分为环形区域$D_i(\lambda)$，其中$\nu(\lambda)$控制此类区域的数量。
• 在每个区域中应用改进的Faber-Krahn不等式，通过局部势的体积和谱隙来控制节点域数量。
• 控制不同区域中的节点域计数：$D_{11}(\lambda)$（靠近原点，势可能奇异）、$D_{12}(\lambda)$（中间区域）以及$i \geq 2$时的$D_i(\lambda)$（外区）。
• 证明每个区域对总节点域计数的贡献在渐近意义上相对于$W(\lambda)$（Weyl型体积项）可忽略不计。
• 利用$N(\lambda)$和$W(\lambda)$的渐近行为，以及$N(\lambda_n) \leq n-1$的事实，推导出最终的上极限界$\mu(\phi_n)/n \leq \gamma(d)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Pleijel定理能否推广至$ mathbb{R}^d$中具有径向势的Schrödinger算子？
• RQ2 节点域计数相对于特征值指标的上极限是否仍被Pleijel常数$ gamma(d)$所控制，对于径向势成立？
• RQ3 径向势的不同渐近行为（趋于$+\infty$或趋于零）如何影响节点域的增长？
• RQ4 Weyl渐近公式和Faber-Krahn不等式能否被适配以处理奇异或缓慢衰减的径向势？
• RQ5 在满足弱正则性和单调性条件的前提下，节点域计数的上界是否与具体径向势无关？

主要发现

• 对于$ mathbb{R}^d$中$d \geq 2$的径向Schrödinger算子$H_V = -\Delta + V$，其中$V(x) = v(|x|)$，且满足$v \in C^1(0,\infty)$，$v' > 0$对大$r$成立，并在原点处有适度奇异性控制，当$n \to \infty$时，$\mu(\phi_n)/n$的上极限被$\gamma(d)$所控制。
• 该结果在两种情形下均成立：情形A（势$v(r) \to +\infty$当$r \to \infty$）与情形B（势$v(r) \to 0$当$r \to \infty$），在$\nu(\lambda)$的适当渐近条件下。
• 上界$\gamma(d)$与径向势$V$无关，与原始Pleijel定理中拉普拉斯算子的情形一致。
• 证明依赖于将空间划分为环形区域，并在每个区域应用局部化的Faber-Krahn型估计，且证明各区域的贡献在渐近意义下为次主导项。
• 证明了$N(\lambda)$（低于$\lambda$的特征值数量）的渐近行为满足$N(\lambda) \sim W(\lambda)$，从而允许通过Weyl公式和节点域的上极限控制推导出最终界。
• 在两种情形下，关键不等式$\mu(u_\lambda) \leq \gamma(d) N(\lambda) (1 + o(1))$在$\lambda \to \infty$或$\lambda \to 0^-$时成立，从而得出$\limsup_{n \to \infty} \mu(\phi_n)/n \leq \gamma(d)$的结论。