[论文解读] Plugin Estimation of Smooth Optimal Transport Maps

Tudor Manole, Sivaraman Balakrishnan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2021

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于经验测度和非参数密度估计的平滑最优传输映射的插值估计器，证明在 Hölder 连续性和光滑性假设下，这些估计器可达到极小极大最优速率。主要贡献在于证明了这些实用估计器的极小极大最优性，并在密度光滑时建立了以总体值为中心的平方 Wasserstein 距离的中心极限定理。

ABSTRACT

We analyze a number of natural estimators for the optimal transport map between two distributions and show that they are minimax optimal. We adopt the plugin approach: our estimators are simply optimal couplings between measures derived from our observations, appropriately extended so that they define functions on $\mathbb{R}^d$. When the underlying map is assumed to be Lipschitz, we show that computing the optimal coupling between the empirical measures, and extending it using linear smoothers, already gives a minimax optimal estimator. When the underlying map enjoys higher regularity, we show that the optimal coupling between appropriate nonparametric density estimates yields faster rates. Our work also provides new bounds on the risk of corresponding plugin estimators for the quadratic Wasserstein distance, and we show how this problem relates to that of estimating optimal transport maps using stability arguments for smooth and strongly convex Brenier potentials. As an application of our results, we derive central limit theorems for plugin estimators of the squared Wasserstein distance, which are centered at their population counterpart when the underlying distributions have sufficiently smooth densities. In contrast to known central limit theorems for empirical estimators, this result easily lends itself to statistical inference for the quadratic Wasserstein distance.

研究动机与目标

• 开发用于未知分布之间最优传输映射的实用且极小极大最优的估计器。
• 在光滑性假设下，分析基于经验测度和非参数密度估计的插值估计器。
• 在密度光滑时，建立以总体值为中心的平方 Wasserstein 距离的中心极限定理。
• 在最优传输中，弥合理论上的极小极大最优性与计算上可行的估计器之间的鸿沟。
• 通过 Brenier 势函数的稳定性论证，为基于插值的二次 Wasserstein 距离估计器提供新的风险界。

提出的方法

• 采用插值方法：在经验测度或密度估计测度之间计算最优耦合，并通过线性平滑器将其扩展至 R^d 上的函数。
• 应用线性平滑器将最优耦合从经验支撑集扩展至整个定义域，以保证光滑性并生成函数值估计器。
• 利用小波分析和 Poincaré 不等式，控制 Wasserstein 距离对偶形式中的估计误差。
• 通过强凸 Brenier 势函数的稳定性论证，将估计风险与相应 Wasserstein 距离估计器的风险关联起来。
• 通过分析对偶目标函数在光滑性条件下的渐近行为，推导出平方 Wasserstein 距离的中心极限定理。
• 应用浓度不等式和矩界，控制经验与期望对偶目标之间的差异，确保分布收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于经验测度的插值估计器是否能在传输映射满足利普希茨连续性时达到极小极大最优速率？
• RQ2 当底层传输映射比利普希茨更光滑时，非参数密度估计是否能带来更快的收敛速率？
• RQ3 在密度光滑时，是否可以为以总体值为中心的平方 Wasserstein 距离插值估计器建立中心极限定理？
• RQ4 Wasserstein 距离插值估计器的风险与 Brenier 势函数的稳定性之间有何关系？
• RQ5 线性平滑器在实现传输映射估计的极小极大最优性中起什么作用？

主要发现

• 基于经验测度之间最优耦合并结合线性平滑的插值估计器，在传输映射满足利普希茨连续性时，达到了极小极大最优速率。
• 当底层映射更光滑（例如属于 α-Hölder 类且 α > 1）时，使用非参数密度估计之间的最优耦合可获得更快的收敛速率。
• 平方 Wasserstein 距离插值估计器的风险有界，且收敛速率与极小极大下界仅相差对数因子。
• 已为平方 Wasserstein 距离的插值估计器建立了中心极限定理，当密度足够光滑时，收敛中心位于总体值。
• 分析表明，经验与期望对偶目标之间的差异在期望下以 o(1/n) 的速率趋于零，从而支持渐近正态性。
• 该方法在利普希茨和更高阶光滑性假设下均实现了传输映射估计的极小极大最优性，且通过小波和 Poincaré 不等式技术导出了明确的收敛速率。