[论文解读] Plurality Consensus in the Gossip Model

Luca Becchetti, Andrea Clementi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2014

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 31被引用 42

一句话总结

本文引入了单色距离（md）作为在gossip模型中多值共识问题的初始颜色配置全局结构的新度量。证明了未决状态动态在完全图上以高概率在O(md(c̄) log n)轮内收敛，并通过使用并行随机游走将协议适配至正则膨胀图，实现O(md(c̄) polylog n)的收敛时间，且在高概率下仅需多项式对数内存和消息大小。

ABSTRACT

We study Plurality Consensus in the Gossip Model over a network of $n$ anonymous agents. Each agent supports an initial opinion or color. We assume that at the onset, the number of agents supporting the plurality color exceeds that of the agents supporting any other color by a sufficiently-large bias. The goal is to provide a protocol that, with high probability, brings the system into the configuration in which all agents support the (initial) plurality color. We consider the Undecided-State Dynamics, a well-known protocol which uses just one more state (the undecided one) than those necessary to store colors. We show that the speed of convergence of this protocol depends on the initial color configuration as a whole, not just on the gap between the plurality and the second largest color community. This dependence is best captured by a novel notion we introduce, namely, the monochromatic distance ${md}(\bar{\mathbf{c}})$ which measures the distance of the initial color configuration $\bar{ \mathbf {c}}$ from the closest monochromatic one. In the complete graph, we prove that, for a wide range of the input parameters, this dynamics converges within $O({md}(\bar {\mathbf {c}}) \log {n})$ rounds. We prove that this upper bound is almost tight in the strong sense: Starting from any color configuration $\bar {\mathbf {c}}$, the convergence time is $Ω({md}(\bar {\mathbf {c}}))$. Finally, we adapt the Undecided-State Dynamics to obtain a fast, random walk-based protocol for plurality consensus on regular expanders. This protocol converges in $O({md}(\bar {\mathbf {c}}) \mathrm{polylog}(n))$ rounds using only $\mathrm{polylog}(n)$ local memory. A key-ingredient to achieve the above bounds is a new analysis of the maximum node congestion that results from performing $n$ parallel random walks on regular expanders. All our bounds hold with high probability.

研究动机与目标

• 为解决现有多值共识协议仅依赖于多数色与第二大多数色之间的偏差，而未考虑完整初始配置的局限性。
• 引入一种新的全局度量——单色距离（md），以捕捉初始颜色分布的结构复杂性。
• 在新度量下分析未决状态动态在完全图和正则膨胀图上的收敛时间。
• 设计一种在正则膨胀图上快速且内存高效的多值共识协议，利用并行随机游走。
• 建立收敛时间的紧致界，其依赖于整个初始配置，而不仅限于多数色差距。

提出的方法

• 引入单色距离md(c̄)作为初始颜色配置c̄与单色配置之间距离的度量。
• 分析完全图上的未决状态动态，证明其以高概率在O(md(c̄) log n)轮内收敛。
• 使用基于阶段的模拟技术，通过并行随机游走模拟正则膨胀图上的团动态。
• 对正则膨胀图上n条并行随机游走的最大节点拥塞进行新颖分析，以限制消息延迟。
• 利用Chernoff不等式和并集界，建立拥塞和收敛时间的集中性。
• 通过在膨胀图上通过随机游走步长模拟团协议的每一轮，将动态调整为仅使用多项式对数本地内存和消息大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 多值共识协议的收敛时间如何依赖于初始颜色配置的完整结构，而不仅限于多数色与第二大多数色之间的差距？
• RQ2 单色距离md(c̄)能否作为仅使用O(log k)本地内存的任何多值共识协议收敛时间的紧致下界？
• RQ3 是否可能以多项式对数时间在正则膨胀图上模拟完全图上未决状态动态的快速收敛？
• RQ4 全局配置结构对gossip模型中简单动态（如未决状态动态）的性能有何影响？
• RQ5 并行随机游走能否高效模拟膨胀图上的基于团的动态，同时保持收敛时间和内存效率？

主要发现

• 在完全图上，未决状态动态以高概率在O(md(c̄) log n)轮内收敛，其中md(c̄)度量了与最近单色配置的距离。
• 对于任意初始配置c̄，收敛时间下界为Ω(md(c̄))，表明上界在强意义下几乎紧致。
• 在正则膨胀图上，使用并行随机游走的改进协议以高概率实现O(md(c̄) polylog n)的收敛时间。
• 该协议仅使用多项式对数(n)本地内存和每轮多项式对数(n)消息大小，支持高效实现。
• 对膨胀图上n条并行随机游走的最大节点拥塞的全新分析，确保团动态的每一轮可在膨胀图上以多项式对数(n)轮模拟。
• 结果表明，md(c̄)是gossip模型中多值共识收敛时间的根本参数。