[论文解读] Pluri-potential theory on Grauert tubes of real analytic Riemannian manifolds, I

Steven Zelditch|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用 21

一句话总结

本文通过使用谱投影算子的解析延拓，引入了极值 plurisubharmonic 函数的类比，将 pluripotential 理论发展到实解析黎曼流形的 Grauert 管道上——即复化邻域。研究证明，复化谱投影算子的归一化对数收敛于 Grauert 管道函数，从而在特征函数范数估计、三重积分乘积以及复节点集分布等方面获得应用。

ABSTRACT

We develop analogues for Grauert tubes of real analytic Riemannian manifolds (M,g) of some basic notions of pluri-potential theory, such as the Siciak extremal function. The basic idea is to use analytic continuations of eigenfunctions in place of polynomials or sections of powers of positive line bundles for pluripotential theory. The analytically continued Poisson-wave kernel plays the role of Bergman kernel. The main results are Weyl laws in the complex domain, distribution of complex zeros of eigenfunctions on locally symmetric spaces, and estimates of triple products of eigenfunctions.

研究动机与目标

• 将 plurisubharmonic (PSH) 函数理论的基础概念从 $\mathbb{C}^m$ 中的严格强伪凸域推广到实解析黎曼流形的 Grauert 管道上。
• 通过复化谱投影算子，定义并分析 Siciak-Zaharjuta 极值 plurisubharmonic 函数在 Grauert 管道中的类比。
• 建立复化谱投影算子的归一化对数 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$ 收敛于 Grauert 管道函数 $\sqrt{\rho}(\zeta)$ 的结果，从而将谱理论与复几何联系起来。
• 将该理论应用于特征函数范数估计、三重乘积积分以及复节点集的分布研究。
• 证明在非正曲率的局部对称流形上，特征函数复零点的极限分布遵循与遍历情形相同的渐近规律。

提出的方法

• 将特征函数 $\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}$ 沿 Grauert 管道 $M_\tau$ 进行解析延拓，其中 $M_\tau$ 定义为 $\sqrt{\rho}(\zeta) < \tau$，而 $\sqrt{\rho}$ 是 Grauert 管道函数。
• 定义复化谱投影算子 $\Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta}) = \sum_{\lambda_j \in I_\lambda} |\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}(\zeta)|^2$，其具有指数增长性且为 plurisubharmonic。
• 将归一化对数 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$ 视为 Siciak-Zaharjuta 极值函数的类比。
• 利用单重局部 Weyl 公式及特征函数增长性质，证明 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta}) \to \sqrt{\rho}(\zeta)$ 的收敛性。
• 使用截断谱核 $P_{I_\lambda}^\tau(\zeta,\bar{\zeta}) = \sum_{\lambda_j \in I_\lambda} e^{-\tau\lambda_j} |\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}(\zeta)|^2$ 作为正则化版本以进行分析。
• 通过与特征函数 $\varphi_{\lambda}^\mathbb{C}$ 的零除子相关的当前量 $[Z_{\varphi_{\lambda}^\mathbb{C}}]$，将结果应用于三重乘积积分和复节点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在谱投影算子的背景下，Siciak-Zaharjuta 极值 plurisubharmonic 函数在 Grauert 管道中的类比是什么？
• RQ2 复化谱投影算子的归一化对数与几何管函数 $\sqrt{\rho}(\zeta)$ 有何关系？
• RQ3 能否利用 Grauert 管道中特征函数的渐近行为推导出范数估计与三重乘积积分的界？
• RQ4 在高秩非正曲率局部对称流形上，特征函数复节点集的极限分布是什么？
• RQ5 Grauert 管道的解析最大半径与几何最大半径是否等价？这对理论有何影响？

主要发现

• 当 $\lambda \to \infty$ 时，复化谱投影算子的归一化对数 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$ 收敛于 Grauert 管道函数 $\sqrt{\rho}(\zeta)$。
• 该收敛性通过单重局部 Weyl 公式建立，同时改进了 [GLS] 中先前结果对复化特征函数的点态界。
• 对于 $\tau < \tau_{\text{an}}$，序列 $\frac{1}{\lambda_j}\log|U_j|^2$（其中 $U_j$ 是 $\varphi_j^\mathbb{C}$ 在 $\partial M_\tau$ 上的 $L^2$-归一化限制）在 $L^1(M_\tau)$ 中为预紧。
• 对于非正曲率的高秩局部对称流形上的特征函数，复节点集的极限分布满足 $\frac{1}{\lambda_j}[Z_{\varphi_j^\mathbb{C}}] \to \frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}|\xi|_g$ 在 $\mathcal{D}'^{(1,1)}(B^*_\varepsilon M)$ 中弱收敛。
• 当关联的半经典测度具有正 Haar 分量时，该极限公式对整个特征函数序列成立，这由 [AS] 中关于 $SL_n(\mathbb{R})$ 的共(compact)格点的定理保证。
• 如 §11.1 所示，Grauert 管道的解析最大半径与几何最大半径相等，从而确认了管构造的一致性。