[论文解读] Pluricanonical systems of projective varieties of general type

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Sep 3, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 21

一句话总结

本文证明了存在一个仅依赖于维数 $n$ 的统一整数 $ u_n$，使得对任意光滑复射影 $n$-流形 $X$（一般型），当 $m \geq \nu_n$ 时， pluricanonical 系 $|mK_X|$ 给出一个双有理映射。证明使用了涉及奇异 Hermitian 度量和 $L^2$-扩张定理的解析方法，避免了极小模型程序，并建立了体积 $K_X^n \geq C_n$ 的统一下界，从而解决了高维代数簇双有理几何中的一个基本问题。

ABSTRACT

We prove that there exists a positive integer $ν_{n}$ depending only on $n$ such that for every smooth projective $n$-fold of general type $X$ defined over {\bf C}, $\mid mK_{X}\mid$ gives a birational rational map from $X$ into a projective space for every $m\geq ν_{n}$. This theorem gives an affirmative answer to Severi's conjecture. The key ingredients of the proof are the theory of AZD which was originated by the aurhor and the subadjunction formula for AZD's of logcanoncial divisors.

研究动机与目标

• 解决一个基本问题：寻找一个统一的整数 $\nu_n$，使得对所有光滑射影 $n$-流形 $X$（一般型）和所有 $m \geq \nu_n$，有 $|mK_X|$ 给出双有理映射。
• 为所有此类 $X$ 的体积 $K_X^n$ 建立一个与具体代数簇无关的统一下界 $C_n$。
• 在不假设极小模型程序的前提下，利用基于乘子理想层和 $L^2$-扩张定理的解析技术证明上述结果。
• 将结果应用于 Severi-Iitaka 猜想，证明从 $X$ 到一般型代数簇的主导有理映射集合是有限的。

提出的方法

• 使用解析的 Zariski 分解和奇异 Hermitian 度量（AZD）来控制 canonical bundle $K_X$ 的正性。
• 将带有奇异度量的线丛的 $L^2$-扩张定理应用于构造全局截面。
• 构造一个函数 $\Psi$ 来编码 canonical 度量的奇点，以分析对数极小中心。
• 提出一个关于奇异度量的新子邻接定理，将子簇的 canonical bundle 与全空间联系起来。
• 基于 Green 函数奇点对 $X \times X - \Delta_X$ 进行分层，以控制点的分离性。
• 通过分层相关的不变量 $\mu_i$ 和 $n_i$ 的界来估计 pluricanonical 映射的次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个统一的整数 $\nu_n$，使得对所有光滑射影 $n$-流形 $X$（一般型）和所有 $m \geq \nu_n$，有 $|mK_X|$ 给出双有理映射？
• RQ2 能否为所有此类 $X$ 的体积 $K_X^n$ 建立一个统一的下界 $C_n$？
• RQ3 这些结果能否在不假设极小模型程序的前提下被证明？
• RQ4 Severi-Iitaka 猜想是否成立，即从 $X$ 到一般型代数簇的主导有理映射集合是否有限？
• RQ5 如何在支配 $X$ 的子簇族上控制 $K_X$ 的正性？

主要发现

• 存在一个仅依赖于 $n$ 的正整数 $\nu_n$，使得对所有光滑射影 $n$-流形 $X$（一般型）和所有 $m \geq \nu_n$，有 $|mK_X|$ 给出双有理有理映射。
• 存在一个正的常数 $C_n$，使得对所有此类 $X$ 都有 $K_X^n \geq C_n$，从而为体积提供了统一的下界。
• 当 $m \geq \nu_n$ 时，pluricanonical 映射 $\Phi_{|mK_X|}$ 的次数有上界 $C^n$，其中 $C$ 仅依赖于 $n$。
• 证明在不假设极小模型程序的前提下完成，而是依赖于涉及 $L^2$-扩张和奇异度量的解析方法。
• Severi-Iitaka 猜想成立：从 $X$ 到一般型代数簇的主导有理映射集合 $Sev(X)$ 是有限的。
• 这些结果等价于体积 $μ(X,K_X) = n! \cdot \varlimsup_{m \to \infty} m^{-n} \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) \geq C_n$ 存在统一的下界。