[论文解读] Plurisubharmonic functions and subellipticity of the dbar-Neumann problem on nonsmooth domains

Emil J. Sträube|ArXiv.org|Jan 10, 1997

Holomorphic and Operator Theory被引用 14

一句话总结

本文在具有Lipschitz边界且为有限型的有界拟凸域上，建立了$$\bar{\partial}$$-Neumann问题的次椭圆估计。通过构造一个在边界附近Hessian矩阵代数增长的有界全纯凸函数，作者在不需光滑边界数据的条件下证明了$$\bar{\partial}$$-Neumann算子的次椭圆性与紧致性，利用一种新颖的子域正则化程序，将经典结果推广至非光滑情形。

ABSTRACT

We show subellipticity of the d-bar Neumann problem on domains with Lipschitz boundary in the presence of plurisubharmonic functions with Hessians of algebraic growth. In particular, a subelliptic estimate holds near a point where the boundary is piecewise smooth of finite type.

研究动机与目标

• 在仅具有Lipschitz边界的域上建立$$\bar{\partial}$$-Neumann问题的次椭圆估计，将光滑或分段光滑的严格拟凸域的经典结果推广至非光滑情形。
• 证明存在一个有界全纯凸函数，其Hessian矩阵在边界附近呈$$\delta^{-\epsilon}$$形式代数增长，即可推出次椭圆性，即使边界不光滑。
• 提出一种利用$$\bar{\partial}$$-Neumann算子在光滑子域上进行正则化的技术，以处理定义域中边界不光滑导致的形式无法属于$$\bar{\partial}^*$$定义域的问题。
• 通过所构造的全纯凸函数，将Catlin的经典紧致性定理推广至无任何边界光滑性假设的域上。
• 通过用满足Hessian增长条件的单个函数替代先前工作中所需的有界函数族，统一并强化了非光滑情形下的次椭圆性与紧致性结果。

提出的方法

• 在边界点$$P$$附近使用一个有界全纯凸函数$$\kappa$$，使得$$dd^c\kappa \geq \text{const} \cdot \delta^{-\epsilon} dd^c|z|^2$$作为当前，其中$$\epsilon > 0$$，$$\delta$$为到边界的距离。
• 通过复拉普拉斯算子的对角作用，将次椭圆估计约化为具有调和系数的微分形式，此时复拉普拉斯算子在这些形式上作用为实拉普拉斯算子的倍数。
• 利用全纯凸函数的Hessian界，通过加权$$L^2$$-范数$$\|u\|_{L^2(\delta^{-\epsilon})}$$控制形式$$u$$，其受$$\|\bar{\partial}u\|_0 + \|\bar{\partial}^*u\|_0$$控制。
• 应用加权$$L^2$$-范数控制调和函数的Sobolev范数的事实，从而可在$$L^2$$-空间中使用紧致性。
• 正则化程序：对于定义在Lipschitz域上的形式，将其限制在光滑子域上，通过在子域上使用$$\bar{\partial}$$-Neumann算子修改，以恢复其属于$$\bar{\partial}^*$$定义域的性质，然后取极限。
• 利用调和函数在$$L^2$$中限制到紧致子集的紧致性，得出$$\|\bar{\partial}u_n\|_0 + \|\bar{\partial}^*u_n\|_0$$有界蕴含存在收敛子列，从而证明$$\bar{\partial}$$-Neumann算子的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在仅具有Lipschitz边界的域上建立$$\bar{\partial}$$-Neumann问题的次椭圆估计，而无需光滑边界数据？
• RQ2 当边界不光滑时，是否存在一个全纯凸函数，其Hessian矩阵呈代数增长（如$$\delta^{-\epsilon}$$），即可推出次椭圆性？
• RQ3 Catlin的$$\bar{\partial}$$-Neumann算子紧致性定理是否可推广至无任何边界光滑性假设的域？
• RQ4 何种正则化技术可处理形式在非光滑域的光滑子域上不属$$\bar{\partial}^*$$定义域的问题？
• RQ5 是否可仅用一个Hessian增长受控的全纯凸函数，而非如早期工作所要求的有界函数族，来推导次椭圆性与紧致性？

主要发现

• 在有界拟凸域上，若存在一个有界全纯凸函数$$\kappa$$，使得$$dd^c\kappa \geq \text{const} \cdot \delta^{-\epsilon} dd^c|z|^2$$作为当前，则在任意边界点附近，次椭圆估计阶数$$\epsilon > 0$$成立。
• 当上述全纯凸函数条件成立时，$$\bar{\partial}$$-Neumann算子$$N_q$$在所有$$1 \leq q \leq n$$的域上是紧致的，即使边界仅为Lipschitz。
• 通过在非光滑域上利用$$\bar{\partial}$$-Neumann算子在光滑子域上的正则化程序，可通过对极限取极限，导出形式的加权$$L^2$$-范数估计。
• 一个具有代数Hessian增长的全纯凸函数可取代先前所需的有界函数族，从而简化次椭圆性与紧致性的条件。
• 通过所构造的全纯凸函数，将Catlin的经典紧致性定理推广至无边界光滑性假设的域，证明此类全纯凸函数的存在性即可推出紧致性。
• 在具有Lipschitz边界的严格拟凸情形下，可通过与$$(-\delta)^{-\epsilon}$$复合实现Hessian增长为$$\delta^{-\epsilon}$$，次椭圆性对所有$$\epsilon < 1/2$$成立，且通过极限测度，$$\epsilon = 1/2$$的情形亦有可能。