[论文解读] Plurisubharmonic functions and the structure of complete Kähler manifolds with nonnegative curvature

Lei Ni, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Apr 7, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种在具有非负全纯双截面曲率的完备非紧凯勒流形上对连续强拟凸函数进行热流逼近的方法，证明了此类函数若具有次对数增长，则必为常数。关键贡献在于建立了强拟凸函数的Liouville型定理以及调和与全纯函数的分裂定理，进而导出具有非负曲率及标量曲率衰减条件的凯勒流形的结构定理。

ABSTRACT

In this paper, we study global properties of continuous plurisubharmonic functions on complete noncompact Kähler manifolds with nonnegative bisectional curvature and their applications to the structure of such manifolds. We prove that continuous plurisubharmonic functions with reasonable growth rate on such manifolds can be approximated by smooth plurisubharmonic functions through the heat flow deformation. Optimal Liouville type theorem for the plurisubharmonic functions as well as a splitting theorem in terms of harmonic functions and holomorphic functions are established. The results are then applied to prove several structure theorems on complete noncompact Kähler manifolds with nonnegative bisectional or sectional curvature.

研究动机与目标

• 研究完备非紧凯勒流形上具有非负全纯双截面曲率的连续强拟凸函数的热流行为。
• 证明在该类流形上，具有次对数增长的强拟凸函数满足Liouville定理。
• 在多项式增长条件下，建立调和函数与全纯函数的分裂定理。
• 导出具有非负全纯双截面曲率的凯勒流形的结构定理，包括标量曲率衰减约束。
• 在较弱的逐点假设下，推广曲率衰减与全纯函数增长的间隙定理。

提出的方法

• 在全纯双截面曲率非负的条件下，为全纯(1,1)-张量解的热方程建立最大值原理，且对张量范数在测地球上的平均值施加弱增长条件。
• 结合间接截断法与Li–Yau的热核估计，控制具有连续强拟凸初值的热方程解的增长。
• 证明满足指数次二次增长的连续强拟凸函数，可通过热流在紧集上一致逼近为光滑强拟凸函数。
• 应用热流逼近方法，证明若 lim sup |u(x)| / log r(x) → 0 当 r(x) → ∞，则强拟凸函数必为常数。
• 利用Liouville定理推导分裂定理：若调和函数的增长慢于 r^{1+ε}，则流形等距分裂为 M̃ × ℝ，其万有覆盖全纯分裂为 M′ × ℂ。
• 在(FCD)条件下，使用热流方法求解Poincaré–Lelong方程 Δu = Ric，并利用此结果证明：当Ric在某点为正时，流形存在非平凡的多项式增长全纯函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非负全纯双截面曲率的完备非紧凯勒流形上，连续强拟凸函数能否通过光滑强拟凸函数进行热流逼近？
• RQ2 在何种增长条件下，此类流形上的强拟凸函数满足Liouville性质？
• RQ3 当存在次线性增长的调和函数时，何时可推出流形分裂为 ℝ 的乘积形式？
• RQ4 在何种标量曲率衰减条件下，具有非负全纯双截面曲率的凯勒流形必为平坦？
• RQ5 在何种条件下，具有非负全纯双截面曲率的凯勒流形支持非平凡的多项式增长全纯函数？

主要发现

• 满足 |u(x)| ≤ C exp(a r²(x)) 的连续强拟凸函数（其中 a, C > 0），可通过热流在紧子集上一致逼近为光滑强拟凸函数。
• 在具有非负全纯双截面曲率的完备非紧凯勒流形上，若 lim sup |u(x)| / log r(x) → 0 当 r(x) → ∞，则强拟凸函数必为常数。
• 若调和函数 f 满足 lim sup |f(x)| / r^{1+ε}(x) → 0 对所有 ε > 0 成立，则流形等距分裂为 M̃ × ℝ，其万有覆盖全纯分裂为 M′ × ℂ。
• 若标量曲率 R 满足 ∫₀ʳ s (∫_{Bₒ(s)} ||R|| dy) ds = o(log r)，则 R ≡ 0，结合(FCD)条件可推出流形为平坦。
• 在(FCD)条件下且Ric在某点为正时，流形支持非平凡的多项式增长全纯函数，且对大 d 有 dim(𝒪_d(M)) ≥ δ d^m，其中 δ > 0。
• 存在非平凡多项式增长全纯函数可推出流形满足(FCD)条件，从而为先前结果提供了部分逆向结果。