[论文解读] Plurisubharmonic functions with weak singularities

Slimane Benelkourchi, Vincent Guedj+1 more|ArXiv.org|Feb 22, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文通过加权Monge-Ampère能量类 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$，引入了一套统一的全纯凸函数框架，用于处理弱奇点情形，推广了Cegrell的类。该框架通过子水平集的Monge-Ampère容量的衰减速率来刻画这些类，并解决了具有中间增长速率、被容量控制的测度的复Monge-Ampère方程，填补了Cegrell与Kolodziej结果之间的空白。

ABSTRACT

We study the complex Monge-Ampère operator in bounded hyperconvex domains of $\C^n$. We introduce a scale of classes of weakly singular plurisubharmonic functions : these are functions of finite weighted Monge-Ampère energy. They generalize the classes introduced by U.Cegrell, and give a stratification of the space of (almost) all unbounded plurisubharmonic functions. We give an interpretation of these classes in terms of the speed of decreasing of the Monge-Ampère capacity of sublevel sets and solve associated complex Monge-Ampère equations.

研究动机与目标

• 通过引入从 $\mathbb{R}^{-}\to\mathbb{R}^{-}$ 的递增函数 $\chi$，推广Cegrell的全纯凸函数有限加权Monge-Ampère能量类。
• 利用 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 框架，统一处理现有类如 $\mathcal{E}^p(\Omega)$、$\mathcal{F}^p(\Omega)$ 和 $\mathcal{F}_a(\Omega)$。
• 通过子水平集的Monge-Ampère容量的衰减速率，刻画 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 类。
• 求解复Monge-Ampère方程 $(dd^c\varphi)^n = \mu$，其中 $\mu$ 为有限Borel测度，且其行为介于Cegrell与Kolodziej研究的两个情形之间。
• 建立 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 中解存在的充要条件，以 $\mu$ 被具有中间增长速率的容量控制为依据。

提出的方法

• 将类 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 定义为全纯凸函数 $u$ 的集合，使得存在一递减序列 $u_j \in \mathcal{T}(\Omega)$，满足 $\sup_j \int_\Omega (-\chi) \circ u_j \, (dd^c u_j)^n < \infty$，从而推广Cegrell的能量类。
• 使用标准逼近 $u_j = \max(u, -j)$，证明对所有Borel集 $B \subset \Omega \setminus \{u = -\infty\}$，有 $\int_B (dd^c u)^n = \lim_{j\to\infty} \int_{B \cap \{u > -j\}} (dd^c u_j)^n$，从而保证Monge-Ampère算子的连续性。
• 建立容量解释：$\mathcal{E}^p(\Omega) = \left\{ \varphi \in PSH^{-}(\Omega) \,\middle|\, \int_0^{\infty} (-\varphi)^{n+p-1} \operatorname{Cap}_\Omega(\{\varphi < -t\}) \, dt < \infty \right\}$，将能量有限性与容量衰减联系起来。
• 引入函数 $F_\mu(t) = \sup\{ \mu(K) \mid \operatorname{Cap}_\Omega(K) \leq t \}$ 以控制测度 $\mu$，并利用其刻画方程 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ 的可解性，条件 (5.3) 涉及 $\chi$-能量。
• 证明在条件 (5.3) 下，$\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 中解的存在性：对所有 $u \in \mathcal{T}(\Omega)$，有 $\int_\Omega (-\chi) \circ u \, d\mu \leq F(E_\chi(u))$，其中 $F$ 满足 $\limsup_{t\to\infty} F(t)/t < 1$。
• 推导解的先验估计：$\varphi \geq -s_\infty$，其中 $s_\infty \leq e \int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt + e\varepsilon(0) + \mu(\Omega)^{1/n}$，当 $\mu$ 满足以 $\varepsilon$ 为参数的控制条件且 $\int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt < \infty$ 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过权重函数 $\chi$ 将Cegrell的全纯凸函数有限能量类推广为统一框架？
• RQ2 全纯凸函数类 $\mathcal{E}^p(\Omega)$ 的精确容量刻画是什么？其与子水平集的Monge-Ampère容量衰减速率有何关系？
• RQ3 对于有限Borel测度 $\mu$，在何种条件下，复Monge-Ampère方程 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ 在 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 中存在解，且 $\mu$ 具有中间增长速率？
• RQ4 通过引入一个函数 $F$，使其以容量的中间增长速率控制 $\mu$，是否可以填补Cegrell与Kolodziej在Monge-Ampère可解性结果之间的空白？
• RQ5 在 $\mathcal{F}^p(\Omega)$ 中函数的 $L^p(\mu)$-可积性与 $\mu$ 被具有指数 $\alpha$ 的容量控制之间存在何种关系？

主要发现

• 类 $\mathcal{E}^p(\Omega)$ 由条件 $\int_0^{\infty} (-\varphi)^{n+p-1} \operatorname{Cap}_\Omega(\{\varphi < -t\}) \, dt < \infty$ 刻画，为有限 $p$-能量提供了精确的容量解释。
• 当 $\chi(t) = -(-t)^p$ 时，条件 $\int_\Omega (-\chi) \circ u \, d\mu \leq C \cdot E_\chi(u)^{p/(p+n)}$ 是方程 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ 在 $\mathcal{F}^p(\Omega)$ 中存在解的充要条件，推广了Cegrell的结果。
• 若对所有紧集 $K$ 有 $\mu(K) \leq C \cdot \operatorname{Cap}_\Omega(K)^{p/(p+n)}$，则 $\mathcal{F}^p(\Omega) \subset L^p(\mu)$；反之，若 $\mu \lesssim \operatorname{Cap}_\Omega^\alpha$ 且 $\alpha > p/(p+n)$，则 $\mathcal{F}^p(\Omega) \subset L^p(\mu)$，建立了容量控制与可积性之间的对偶关系。
• 方程 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ 的解 $\varphi$ 满足先验估计 $\varphi \geq -s_\infty$，其中 $s_\infty \leq e \int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt + e\varepsilon(0) + \mu(\Omega)^{1/n}$，当 $\mu$ 满足以 $\varepsilon$ 为参数的控制条件且 $\int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt < \infty$ 时成立，确保了统一的控制。
• 若 $\mu$ 满足对所有 $u \in \mathcal{T}(\Omega)$ 有 $\int_\Omega (-\chi) \circ u \, d\mu \leq F(E_\chi(u))$，其中 $F$ 递增且 $\limsup_{t\to\infty} F(t)/t < 1$，则方程 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ 在 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 中存在解，该结果将Cegrell的结果推广至更广泛的权重类。
• $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 包含于 $DMA(\Omega)$，且Monge-Ampère算子在 $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 中的递减序列上连续，确保了该类上算子的良定义性。