[论文解读] Plurisubharmonicity and geodesic convexity of energy function on Teichmüller space

Инканг Ким, Xueyuan Wan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文证明了从黎曼流形到Teichmüller空间中双曲曲面的调和映射的能量泛函的对数在Teichmüller空间上是严格强拟凸的，从而为Teichmüller空间的Stein性质提供了新的证明。此外，论文证明了能量函数在Weil-Petersson测地线上严格凸，并推导出精确的二阶变分公式，包括测地线长度函数的公式，且表明当 $ c > 5/6 $ 时 $ E(t)^c $ 严格凸，当 $ c = 5/6 $ 时凸。

ABSTRACT

Let $π:\mc{X} o \mc{T}$ be Teichmüller curve over Teichmüller space $\mc{T}$, such that the fiber $\mc{X}_z=π^{-1}(z)$ is exactly the Riemann surface given by the complex structure $z\in \mc{T}$. For a fixed Riemannian manifold $M$ and a continuous map $u_0: M o \mc{X}_{z_0}$, let $E(z)$ denote the energy function of the harmonic map $u(z):M o \mc{X}_z$ homotopic to $u_0$, $z\in \mathcal T$. We obtain the first and the second variations of the energy function $E(z)$, and show that $\log E(z)$ is strictly plurisubharmonic on Teichmüller space, from which we give a new proof on the Steinness of Teichmüller space. We also obtain a precise formula on the second variation of $E^{1/2}$ if $\dim M=1$. In particular, we get the formula of Axelsson-Schumacher on the second variation of the geodesic length function. We give also a simple and corrected proof for the theorem of Yamada, the convexity of energy function $E(t)$ along Weil-Petersson geodesics. As an application we show that $E(t)^c$ is also strictly convex for $c>5/6$ and convex for $c=5/6$ along Weil-Petersson geodesics. We also reprove a Kerckhoff's theorem which is a positive answer to the Nielsen realization problem.

研究动机与目标

• 在Teichmüller空间上建立能量泛函对数的强拟凸性，以提供其Stein性质的新证明。
• 在Teichmüller空间设定下，推导调和映射能量泛函 $ E(z) $ 的精确一阶和二阶变分公式。
• 证明 $ E(t)^c $ 沿Weil-Petersson测地线严格凸，当 $ c > 5/6 $ 时成立，且在 $ c = 5/6 $ 时凸，扩展了关于测地线长度函数的已知结果。
• 通过调和映射能量方法重新推导并修正测地线长度函数的二阶变分公式。
• 提供Yamada关于Weil-Petersson测地线上能量凸性的定理的简化与修正证明，并利用能量泛函的凸性与恰当性重新证明Kerckhoff的Nielsen实现定理。

提出的方法

• 使用Teichmüller曲线 $ \rho: \tilde{\rho} \to \tilde{\rho} $ 参数化Teichmüller空间 $ \tilde{\rho} $ 上的黎曼曲面，其纤维 $ \tilde{\rho}_z $ 携带双曲度量。
• 应用从固定黎曼流形 $ (M^n, g) $ 到纤维 $ \tilde{\rho}_z $ 的调和映射理论，确保与固定映射 $ u_0 $ 同伦的调和代表唯一存在。
• 通过复结构的无穷小变形及其对应的Beltrami微分，计算能量泛函 $ E(z) = \frac{1}{2} \int_M |du(z)|^2 d\mu_g $ 的一阶和二阶变分。
• 推导涉及拉回度量的迹与Beltrami微分 $ q $ 的二阶变分公式，表明 $ \delta^2 E(u_0)(W_0, W_0) \leq \int_M \frac{|q|^2}{\phi_0^2} \text{Tr}_g(u_0^* \Phi_0) d\mu_g $。
• 通过曲率估计与迹不等式结合，建立二阶变分的正性，证明 $ \frac{d^2}{dt^2} E(t) \geq \int_M \frac{|q|^2}{3\phi_0^2} \text{Tr}_g(u_0^* \Phi_0) d\mu_g > 0 $。
• 利用二阶变分结果分析 $ \frac{d^2}{dt^2} E(t)^c $，通过涉及 $ \left( \frac{dE}{dt} \right)^2 \leq 6E \frac{d^2E}{dt^2} $ 的二次不等式推导出 $ c > 5/6 $ 时严格凸的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Teichmüller空间上能量泛函 $ \log E(z) $ 的对数是否严格强拟凸？
• RQ2 能量泛函 $ E(t) $ 沿Weil-Petersson测地线是否保持严格凸？对于哪些幂次 $ c $，$ E(t)^c $ 是凸或严格凸的？
• RQ3 当定义流形的维数为1时，$ E^{1/2}(t) $ 的精确二阶变分公式是什么？
• RQ4 测地线长度函数的二阶变分能否从能量泛函框架中恢复？
• RQ5 能否利用Teichmüller空间上能量泛函的凸性与恰当性重新证明Nielsen实现问题？

主要发现

• 能量泛函 $ \log E(z) $ 在Teichmüller空间上是严格强拟凸的，从而为Teichmüller空间的Stein性质提供了新证明。
• 能量泛函 $ E(t) $ 沿Weil-Petersson测地线的二阶变分为严格正，证实了Yamada关于 $ E(t) $ 严格凸性的结果。
• $ E(t)^c $ 沿Weil-Petersson测地线在 $ c > 5/6 $ 时严格凸，在 $ c = 5/6 $ 时凸，临界值 $ 5/6 $ 来源于涉及一阶与二阶导数的二次不等式。
• 通过特例化为测地线曲线（此时能量为长度的平方），论文恢复并修正了Axelsson与Schumacher关于测地线长度函数的二阶变分公式。
• 在填充曲线族上能量泛函的和是恰当且严格凸的，从而在群作用下具有唯一最小值点，因此为Kerckhoff的Nielsen实现定理提供了新证明。
• 当 $ \dim M = 1 $ 时，显式推导出 $ E^{1/2}(t) $ 的二阶变分，得到精确公式，从而恢复了测地线长度函数的已知二阶变分公式。