[论文解读] Plurisubharmonicity in a General Geometric Context

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 38

一句话总结

本文通过在对称矩阵空间中使用椭圆锥，将全纯凸性与凸性推广到复几何之外的广泛几何与非几何设定。它建立了 ${\cal P}^{+}$-全纯凸函数的基础性质，证明了Dirichlet问题的存在性与唯一性，并通过 ${\cal P}_{+}$ 的自由维数引入了拓扑约束，推广了 Andreotti-Frankel 定理。

ABSTRACT

Recently the authors have explored new concepts of plurisubharmonicity and pseudoconvexity, with much of the attendant analysis, in the context of calibrated manifolds. Here a much broader extension is made. This development covers a wide variety of geometric situations, including, for example, Lagrangian plurisubhamonicity and convexity. It also applies in a number of non-geometric situations. Results include: fundamental properties of $P^+$-plurisubharmonic functions, plurisubharmonic distributions and regularity, $P^+$-convex domains and $P^+$-convex boundaries, topological restrictions on and construction of such domains, continuity of upper envelopes, and solutions of the Dirichlet problem for related Monge-Ampere-type equations. Many results in this paper have been generalized in recent work of the authors. However, this article covers many cases of geometric interest, and certain convexity assumptions here allow the use of classical analytic methods, making the exposition more accessible.

研究动机与目标

• 将全纯凸函数理论从复几何推广到由椭圆锥定义的一般几何背景。
• 为校准、辛及其他几何结构中的全纯凸性与凸性建立统一框架。
• 建立 ${\cal P}^{+}$-全纯凸函数的基础性质，包括正则性、上包络与分布延拓。
• 在该推广设定下求解Monge-Ampère型方程的Dirichlet问题。
• 通过双锥 ${\cal P}_{+}$ 的自由维数推广拓扑结果（如 Andreotti-Frankel 定理）。

提出的方法

• 通过条件定义 ${\cal P}^{+}$-全纯凸函数：$C^2$ 函数的Hessian矩阵属于闭凸椭圆锥 ${\cal P}^{+} \subset {\rm Sym}^{2}({\bf R}^{n})$。
• 将该概念扩展至分布，并证明其属于 $L^1_{\rm loc}$，且具有唯一的上半连续代表元。
• 使用Perron方法通过子族函数的上包络构造Dirichlet问题的解。
• 定义域与边界关于 ${\cal P}^{+}$ 的凸性，证明边界严格 ${\cal P}^{+}$-凸性蕴含域的凸性。
• 定义 ${\cal P}_{+}$-自由子空间与子流形，并利用自由维数 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ 控制 ${\cal P}^{+}$-凸域的同伦型。
• 应用 G{å}rding 关于双曲多项式与 MA-算子的理论，刻画椭圆性并推导Monge-Ampère方程的存在性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯凸性的概念如何能超越复几何，推广至校准与辛结构？
• RQ2 在何种条件下，${\cal P}^{+}$-全纯凸函数的Dirichlet问题存在解，且解唯一？
• RQ3 ${\cal P}^{+}$-凸域受到何种拓扑限制？其与双锥 ${\cal P}_{+}$ 的自由维数有何关联？
• RQ4 全纯凸函数的经典性质（如最大值原理与关于一致极限的稳定性）在该推广设定下如何延拓？
• RQ5 椭圆锥与MA-算子在确保Monge-Ampère型方程解的存在性与正则性方面起何作用？

主要发现

• 当且仅当对某个紧子集 $G \subset G(p,\mathbb{R}^n)$ 中的所有 $\xi$，有 $\operatorname{tr}_\xi(\operatorname{Hess}_x u) \geq 0$ 时，$C^2(X)$ 中的函数 $u$ 为 ${\cal P}^{+}$-全纯凸，该结果推广至拉格朗日与特殊拉格朗日子流形等几何背景。
• ${\cal P}^{+}$-全纯凸函数的集合在逐点最大值、递减极限与一致极限下封闭，且任意局部有界的函数族的上半连续正则化仍为 ${\cal P}^{+}$-全纯凸。
• 当且仅当域 $X$ 允许一个严格 ${\cal P}^{+}$-全纯凸的穷竭函数时，$X$ 为 ${\cal P}^{+}$-凸，该结果推广了复分析中的拟凸性概念。
• 若紧致域 $\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 严格 ${\cal P}^{+}$-凸，则 $\Omega$ 本身为 ${\cal P}^{+}$-凸。
• ${\cal P}_{+}$ 的自由维数 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ 是 ${\cal P}_{+}$-自由子空间的最大维数，且任意 ${\cal P}^{+}$-凸域同伦等价于维数至多为 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ 的CW复形，该结果推广了 Andreotti-Frankel 定理。
• 在适当的边界条件下，${\cal P}^{+}$-全纯凸函数的Dirichlet问题有唯一解，且当域为 ${\cal P}^{+}$-凸时，解的存在性可通过Perron方法保证。