[论文解读] POD-Galerkin Model Order Reduction for Parametrized Nonlinear Time Dependent Optimal Flow Control: an Application to Shallow Water Equations

Maria Strazzullo, Francesco Ballarin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 72被引用 17

一句话总结

本论文提出了一种基于 Proper Orthogonal Decomposition-Galerkin 的降模态模型（POD-Galerkin ROM），用于求解由浅水方程控制的参数化非线性时间依赖最优控制问题，实现了快速且精确的解追踪。通过将全阶最优性系统投影到通过 Proper Orthogonal Decomposition 构建的降维空间上，该方法在保持精度的同时实现了显著的计算加速，如在数值测试案例中成功恢复了期望的速度和水深分布所示。

ABSTRACT

In this work we propose reduced order methods as a reliable strategy to efficiently solve parametrized optimal control problems governed by shallow waters equations in a solution tracking setting. The physical parametrized model we deal with is nonlinear and time dependent: this leads to very time consuming simulations which can be unbearable e.g. in a marine environmental monitoring plan application. Our aim is to show how reduced order modelling could help in studying different configurations and phenomena in a fast way. After building the optimality system, we rely on a POD-Galerkin reduction in order to solve the optimal control problem in a low dimensional reduced space. The presented theoretical framework is actually suited to general nonlinear time dependent optimal control problems. The proposed methodology is finally tested with a numerical experiment: the reduced optimal control problem governed by shallow waters equations reproduces the desired velocity and height profiles faster than the standard model, still remaining accurate.

研究动机与目标

• 解决海岸海洋建模中参数化非线性时间依赖最优控制问题（OCPs）的高计算成本问题。
• 为参数化浅水方程（SWEs）中的解追踪开发一种降模态模型（ROM），SWEs 是环境与海洋科学中的关键模型。
• 克服在具有鞍点结构和非仿射项的非线性时间依赖 OCPs 中进行降维所面临的挑战。
• 实现实时应用中对多个参数配置的快速可靠模拟，用于海洋环境监测。
• 提供一个通用框架，可推广至 SWEs 以外的其他参数化非线性时间依赖 OCPs。

提出的方法

• 制定由浅水方程（SWEs）控制的参数化最优控制问题，采用二次型代价泛函。
• 使用时空有限元方法对问题进行离散化，得到具有鞍点结构的大规模线性系统。
• 应用 Proper Orthogonal Decomposition（POD）从全阶模型的快照解中生成降模态基。
• 为状态、伴随和控制变量构建聚合降维空间，以确保降阶最优性系统的可解性。
• 对全阶最优性系统应用 Galerkin 投影，推导出降阶系统，同时保持鞍点结构。
• 采用仿射分解方法，在降阶背景下高效处理非仿射非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 POD-Galerkin ROM 是否能有效降低由浅水方程控制的参数化非线性时间依赖最优控制问题的计算成本？
• RQ2 降模态模型如何在实现显著加速的同时保持解追踪的准确性，特别是在海岸海洋应用中？
• RQ3 聚合降维空间对降阶最优性系统的可解性和稳定性有何影响？
• RQ4 在参数变化下，该方法在恢复期望速度和水深分布方面表现如何？
• RQ5 所提出的 ROM 框架是否可推广至其他非线性时间依赖 PDE 约束最优控制问题？

主要发现

• 降模态模型以高精度成功再现了全阶模型中的期望速度和水深分布。
• 求解降阶最优控制问题的计算时间显著低于全阶模型，从而实现了对多个参数配置的快速模拟。
• 采用聚合降维空间确保了降阶最优性系统以鞍点形式的可解性。
• 该方法在降维后仍保持了全阶系统的鞍点结构，这对稳定性和收敛性至关重要。
• 该 ROM 框架适用于非线性、时间依赖且参数化的 PDE 约束最优控制问题，其适用范围超越了稳态或线性情况。
• 数值实验表明，降阶模型在大幅降低计算成本的同时保持了高精度，适用于实时环境监测应用。